integral raizx(1+raizx) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse é um exercício de cálculo integral, onde vamos precisar usar técnicas de simplificação e integração de funções polinomiais. Vamos precisar manipular a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos distribuir raizx(1 + raizx) = raizx cdot 1 + raizx cdot raizx = raizx + x sobre integral (raizx + x) , dx :
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que integrar uma soma é o mesmo que integrar cada termo separadamente. Ou seja:
integral (raizx + x) , dx = integral raizx , dx + integral x , dx

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente. Primeiro, integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C . Sabemos que integral x^1/2 , dx = x^3/23/2 = 23 x^3/2 , então usamos a regra de integração para potências:
Aplicando isso:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral x , dx = integral x^1 , dx = x^22 = 12 x^2 . Usando a mesma regra:

Passo 6

Juntando os resultados das integrais, temos:
integral (raizx + x) , dx = 23 x^3/2 + 12 x^2 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral 23 x^3/2 + 12 x^2 + C é igual a:

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