Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Se for vedadeira prove e se for falsa dê um contraexemplo.
a) Existe
tal que
a) Existe
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: Existe um número real
tal que
. Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam e verificar se elas se cruzam em algum ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise:
Podemos reescrever isso como:
Vamos definir uma função:
Queremos encontrar se existe algum
real que faz
.
Passo 3
Vamos avaliar a função
em alguns pontos para ver o comportamento dela.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Observamos que em
,
. Isso significa que
é uma solução da equação
.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Existe
que satisfaz
.
Exercícios relacionados
Escreva os quatro primeiros termos das séries seguintes. Determine a convergência e caso sejam convergentes, determine a sua soma.
.
Mostre que
tem uma solução no intervalo
.
Mostre que a equação
tem exatamente uma raiz real.
Seja
funções tais que
. Então
para todo
.