Mostre que
tem uma solução no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa mostrar que a equação
tem pelo menos uma solução no intervalo entre
e
. Para isso, vamos usar um conceito da matemática chamado Teorema do Valor Intermediário, que basicamente diz que se uma função é contínua em um intervalo e assume valores positivos e negativos nesse intervalo, então ela deve cruzar o eixo zero, ou seja, tem uma raiz lá dentro.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma função que representa a diferença entre os dois lados da equação:
Nosso objetivo é mostrar que
é igual a zero em algum ponto entre
e
.
Passo 3
Vamos verificar os valores de
nas extremidades do intervalo.
Quando
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos verificar
em
:
Sabemos que
, então:
Como
, então
, então:
Portanto,
.
Passo 5
Observamos que
(positivo) e
(negativo). Como
é contínua no intervalo
e muda de sinal, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um ponto
nesse intervalo onde
.
Resposta
Então, a equação
tem pelo menos uma solução no intervalo
.
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a) Existe tal que
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