Mostre que
tg(x) + 1 = 16 x^2
tem uma solução no intervalo (0, pi / 4).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa mostrar que a equação tem pelo menos uma solução no intervalo entre 0 e . Para isso, vamos usar um conceito da matemática chamado Teorema do Valor Intermediário, que basicamente diz que se uma função é contínua em um intervalo e assume valores positivos e negativos nesse intervalo, então ela deve cruzar o eixo zero, ou seja, tem uma raiz lá dentro.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma função que representa a diferença entre os dois lados da equação:
Nosso objetivo é mostrar que f(x) é igual a zero em algum ponto entre 0 e .

Passo 3

Vamos verificar os valores de f(x) nas extremidades do intervalo.
Quando x = 0:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos verificar f(x) em :
Sabemos que , então:
Como , então , então:
Portanto, .

Passo 5

Observamos que (positivo) e (negativo). Como f(x) é contínua no intervalo e muda de sinal, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um ponto c nesse intervalo onde .

Resposta

Então, a equação tem pelo menos uma solução no intervalo .

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