Escreva os quatro primeiros termos das séries seguintes. Determine a convergência e caso sejam convergentes, determine a sua soma. .
Passo 1
Beleza, vamos tratar da sua questão! Você quer que a gente escreva os quatro primeiros termos da série , verificar se essa série converge e, caso converja, calcular a soma dela. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries geométricas e seus critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os quatro primeiros termos da série. Isso significa calcular a expressão para .
Para :
Para :
Para :
Para :
Então, os quatro primeiros termos são , , e .
Passo 3
Agora, vamos verificar se a série converge. Observamos que cada termo da série pode ser escrito na forma de uma série geométrica, que é uma série onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante .
A série geral é:
Aqui, identificamos que a razão é .
Para uma série geométrica convergir, a razão deve satisfazer . No nosso caso:
Como é menor que 1, a série converge.
Passo 4
Como a série converge, vamos calcular a soma dela. A soma de uma série geométrica infinita que começa em S = a1 - r é dada por: