Escreva os quatro primeiros termos das séries seguintes. Determine a convergência e caso sejam convergentes, determine a sua soma.
sumn=1^infty 2^2 n3^3 n.

Passo 1

Beleza, vamos tratar da sua questão! Você quer que a gente escreva os quatro primeiros termos da série , verificar se essa série converge e, caso converja, calcular a soma dela. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries geométricas e seus critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os quatro primeiros termos da série. Isso significa calcular a expressão 2^2 cdot 13^3 cdot 1 = 2^23^3 = 427 para 2^2 cdot 23^3 cdot 2 = 2^43^6 = 16729 .
  • Para 2^2 cdot 33^3 cdot 3 = 2^63^9 = 6419683 :
    2^2 cdot 43^3 cdot 4 = 2^83^12 = 256531441
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, os quatro primeiros termos são , , e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a série converge. Observamos que cada termo da série pode ser escrito na forma de uma série geométrica, que é uma série onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante sumn=1^infty 2^2n3^3n = sumn=1^infty (2^23^3)^n = sumn=1^infty (427)^n .
A série geral é:
|427| = 427 < 1
Aqui, identificamos que a razão é .
Para uma série geométrica convergir, a razão deve satisfazer . No nosso caso:
Como é menor que 1, a série converge.

Passo 4

Como a série converge, vamos calcular a soma dela. A soma de uma série geométrica infinita que começa em S = a1 - r é dada por:
S = 4271 - 427 = 4272327 = 423
onde é o primeiro termo e é a razão.
No nosso caso:
  • Primeiro termo
  • Razão
Substituindo na fórmula:

Resposta

A série converge e a sua soma é .

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