Seja f, g:(a, b) funções tais que g(x). Então lim x c^ pm g(x) para todo c in[a, b].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções, e , definidas no intervalo , e sabemos que para todo nesse intervalo, . A pergunta quer que a gente mostre que, para qualquer ponto dentro de , o limite de quando se aproxima de (pela direita ou pela esquerda) também é menor que o limite de quando se aproxima de .
O conteúdo aqui envolve limites de funções e inequações. Vamos precisar lembrar como os limites funcionam e como as desigualdades se comportam quando aplicamos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite de uma função. Quando dizemos que , estamos dizendo que conforme se aproxima de , os valores de ficam cada vez mais próximos de .
Agora, sabemos que para todo em . Isso significa que, perto de qualquer ponto , está sempre abaixo de .

Passo 3

Vamos assumir que os limites limx to c^pm g(x) < limx to c^pm f(x) e existem. Queremos mostrar que:
Pense da seguinte maneira: se está sempre menor que perto de , então os valores que está se aproximando (seus limites) também devem ser menores do que os valores que está se aproximando.

Passo 4

Vamos formalizar isso usando a definição de limite. Se L - epsilon < f(x) < L + epsilon e M - epsilon < g(x) < M + epsilon , então para qualquer M - epsilon < g(x) < f(x) < L + epsilon , existe um intervalo ao redor de onde:
Como nesse intervalo, então:
Isso implica que . Mas como é sempre menor que , na verdade temos .

Passo 5

Portanto, concluímos que:
limx to c^pm g(x) < limx to c^pm f(x)
Isso valida o que a questão propõe, ou seja, que os limites mantêm a relação de desigualdade das funções originais.

Resposta

limx to c^pm g(x) < limx to c^pm f(x)

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