Seja
funções tais que
. Então
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções,
e
, definidas no intervalo
, e sabemos que para todo
nesse intervalo,
. A pergunta quer que a gente mostre que, para qualquer ponto
dentro de
, o limite de
quando
se aproxima de
(pela direita ou pela esquerda) também é menor que o limite de
quando
se aproxima de
.
O conteúdo aqui envolve limites de funções e inequações. Vamos precisar lembrar como os limites funcionam e como as desigualdades se comportam quando aplicamos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o limite de uma função. Quando dizemos que
, estamos dizendo que conforme
se aproxima de
, os valores de
ficam cada vez mais próximos de
.
Agora, sabemos que
para todo
em
. Isso significa que, perto de qualquer ponto
,
está sempre abaixo de
.
Passo 3
Vamos assumir que os limites
e
existem. Queremos mostrar que:
Pense da seguinte maneira: se
está sempre menor que
perto de
, então os valores que
está se aproximando (seus limites) também devem ser menores do que os valores que
está se aproximando.
Passo 4
Vamos formalizar isso usando a definição de limite. Se
e
, então para qualquer
, existe um intervalo ao redor de
onde:
Como
nesse intervalo, então:
Isso implica que
. Mas como
é sempre menor que
, na verdade temos
.
Passo 5
Portanto, concluímos que:
Isso valida o que a questão propõe, ou seja, que os limites mantêm a relação de desigualdade das funções originais.
Resposta
Exercícios relacionados
Mostre que a equação
tem exatamente uma raiz real.
Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Se for vedadeira prove e se for falsa dê um contraexemplo.
a) Existe tal que
a) Existe
Escreva os quatro primeiros termos das séries seguintes. Determine a convergência e caso sejam convergentes, determine a sua soma.
.
Verifique se são convergentes: