Mostre que a equação
tem exatamente uma raiz real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a equação
tem exatamente uma raiz real. Isso envolve entender um pouco sobre polinômios e como eles se comportam. Para resolver, vamos precisar usar noções de cálculo, principalmente derivadas, para analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma raiz real. Uma raiz real é um valor de
que, quando substituído na equação, faz com que o resultado seja zero. No caso de polinômios de terceiro grau (cúbicos), como o que temos aqui, sabemos que sempre existe pelo menos uma raiz real, mas pode haver uma ou duas raízes adicionais que podem ser reais ou complexas.
Passo 3
Para descobrir quantas raízes reais existem, vamos analisar a função associada a essa equação:
Vamos observar o comportamento dessa função quando
tende ao infinito positivo e negativo.
Passo 4
Quando
tende a
:
Quando
tende a
:
Isso nos mostra que a função vai de
a
, garantindo pelo menos uma raiz real devido à continuidade dos polinômios.
Passo 5
Agora, para determinar se há mais de uma raiz real, vamos analisar a derivada da função para ver se ela tem pontos de máximo ou mínimo (pontos onde a função muda de direção).
A derivada de
é:
Podemos simplificar essa derivada:
Passo 6
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
:
Calculando o discriminante (
) dessa equação quadrática:
Como o discriminante é negativo (
), não há raízes reais para a derivada. Isso significa que a função
não tem pontos de máximo ou mínimo reais e, portanto, é sempre crescente ou sempre decrescente.
Passo 7
Sabendo que a função é contínua e sempre crescente (já que o coeficiente de
é positivo), ela cruzará o eixo
exatamente uma vez. Não há lugares onde a função mude de direção para permitir mais de uma raiz real.
Resposta
A equação
tem exatamente uma raiz real.
Exercícios relacionados
Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Se for vedadeira prove e se for falsa dê um contraexemplo.
a) Existe tal que
a) Existe
Escreva os quatro primeiros termos das séries seguintes. Determine a convergência e caso sejam convergentes, determine a sua soma.
.
Seja
funções tais que
. Então
para todo
.
Escreva os quatro primeiros termos das séries seguintes. Determine a convergência e caso sejam convergentes, determine a sua soma.
.