Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:
(b) integral1^infty 1x^4+x^2 d x=1-pi4

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se a afirmação
integral1^infty 1x^4+x^2 , dx = 1 - pi4
é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos calcular a integral e ver se o resultado coincide com o valor proposto na afirmação.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão dentro da integral. Observamos que x^4 + x^2 = x^2(x^2 + 1) pode ser fatorado:
integral1^infty 1x^2(x^2 + 1) , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Para facilitar a integração, podemos decompor a fração usando frações parciais. Queremos escrever:
1x^2(x^2 + 1) = Ax + Bx^2 + Cx^2 + 1
Após resolver para os coeficientes 1x^2(x^2 + 1) = 1x^2 - 1x^2 + 1 , e , descobrimos que:

Passo 4

Agora, a integral pode ser separada em duas partes:
integral1^infty ( 1x^2 - 1x^2 + 1 ) , dx = integral1^infty 1x^2 , dx - integral1^infty 1x^2 + 1 , dx

Passo 5

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente.
Para a primeira integral:
integral 1x^2 , dx = -1x + C
Para a segunda integral:
integral 1x^2 + 1 , dx = arctan(x) + C

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 1 a [ -1x ]1^infty - [ arctan(x) ]1^infty :
-1x to 0 e arctan(x) to pi2
Calculando cada parte:
  • Quando -11 = -1 e arctan(1) = pi4 :
  • Quando :

Passo 7

Substituindo os valores:
( 0 - pi2 ) - ( -1 - pi4 ) = -pi2 + 1 + pi4 = 1 - pi4

Resposta

A afirmação é verdadeira, já que o cálculo da integral resulta em .

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