Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:
(b)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se a afirmação
é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos calcular a integral e ver se o resultado coincide com o valor proposto na afirmação.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão dentro da integral. Observamos que pode ser fatorado:
Então, a integral fica:

Passo 3

Para facilitar a integração, podemos decompor a fração usando frações parciais. Queremos escrever:
Após resolver para os coeficientes , e , descobrimos que:

Passo 4

Agora, a integral pode ser separada em duas partes:

Passo 5

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente.
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 1 a :
Calculando cada parte:
  • Quando :
  • Quando :

Passo 7

Substituindo os valores:

Resposta

A afirmação é verdadeira, já que o cálculo da integral resulta em .

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Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:
(a) .
Mostre que a área da elipse é . (Sugestão: calcule um quarto dessa área, obtendo a área delimitada pelos eixos coordenados e a curva no primeiro quadrante.)
Resolva as seguintes inequações.
Considere a seguinte função . Calcule nos seguintes casos: