Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:
(b)
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se a afirmação
é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos calcular a integral e ver se o resultado coincide com o valor proposto na afirmação.
Passo 2
Vamos começar simplificando a expressão dentro da integral. Observamos que
pode ser fatorado:
Então, a integral fica:
Passo 3
Para facilitar a integração, podemos decompor a fração usando frações parciais. Queremos escrever:
Após resolver para os coeficientes
,
e
, descobrimos que:
Passo 4
Agora, a integral pode ser separada em duas partes:
Passo 5
Vamos calcular cada uma das integrais separadamente.
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:
Passo 6
Aplicando os limites de integração de 1 a
:
Calculando cada parte:
- Quando
: - Quando
:
Passo 7
Substituindo os valores:
Resposta
A afirmação é verdadeira, já que o cálculo da integral resulta em
.
Exercícios relacionados
Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:
(a) .
(a)
Mostre que a área da elipse
é
. (Sugestão: calcule um quarto dessa área, obtendo a área delimitada pelos eixos coordenados e a curva
no primeiro quadrante.)
Resolva as seguintes inequações.
Considere a seguinte função
. Calcule
nos seguintes casos: