Resolva as seguintes inequações. (x² - 1) / (-x² + x + 6) ≥ 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Esse tipo de problema pertence ao estudo de frações algébricas e inequações, onde a gente precisa descobrir para quais valores de a expressão é maior ou igual a zero. Para resolver isso, vamos seguir alguns passos bem diretos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Observe que o denominador pode ser reescrito como . Assim, nossa inequação fica:
Podemos multiplicar numerador e denominador por , o que inverte o sinal da inequação:
Simplificando os sinais:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o numerador e o denominador para encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de que tornam o numerador ou o denominador igual a zero.
Numerador:
Então, e .
Denominador:
Então, e .

Passo 4

Com os pontos críticos identificados ( , , , ), vamos dividir a reta numérica em intervalos para analisar o sinal da expressão em cada um deles:

Passo 5

Em cada intervalo, vamos escolher um valor de para determinar o sinal da fração .
  1. Intervalo : Escolha
  2. Intervalo : Escolha
  3. Intervalo : Escolha
  4. Intervalo : Escolha
  5. Intervalo : Escolha

Passo 6

Agora, vamos identificar onde a expressão é maior ou igual a zero, ou seja, onde ela é positiva ou igual a zero.
Analisando os sinais nos intervalos:
  • : Positivo
  • : Negativo
  • : Positivo
  • : Negativo
  • : Positivo
Além disso, devemos considerar os pontos onde a expressão é igual a zero, que são e . Porém, nos pontos onde o denominador é zero ( e ), a expressão não está definida.

Resposta

A solução da inequação é dado pelos valores de que pertencem aos intervalos , e . Em notação intervalar:

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