Suponha que a curva com a equação y=C+D t seja a melhor aproximação por mínimos quadrados para os pontos experimentais (t, y)=(0,6),(1,4),(4,1). © Quais os valores que y deveria tomar nos momentos de tempo t=0,1,2 para que a melhor curva seja a curva y=0 (ou seja: C=0 e D=0 ) (2,5 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva da forma que melhor se ajusta aos pontos experimentais usando o método dos mínimos quadrados. Os pontos dados são , e .
Na parte ©, a pergunta é: quais valores deveriam ter nos momentos de tempo para que a melhor curva seja (isto é, e )?
O conteúdo que vamos utilizar aqui é o método dos mínimos quadrados, que ajuda a encontrar a melhor linha que se ajusta aos dados minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a melhor curva seja sum (yi - 0)^2 . Isso quer dizer que estamos escolhendo uma linha horizontal que passa pela origem (já que sum yi^2 e ), e queremos que essa seja a linha que minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e previstos pela linha.
Em termos matemáticos, queremos que:
seja mínima. Isso simplifica para:
Então, para que seja a melhor curva, precisamos que a soma dos quadrados dos valores seja a menor possível.

Passo 3

Agora, vamos considerar os pontos nos quais queremos que isso ocorra: . Queremos encontrar os valores de nesses tempos que garantam que seja a melhor curva.
Substituindo na equação da curva , temos que deve ser igual a zero nesses pontos para que a linha se ajuste perfeitamente, ou seja:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Portanto, os valores que deve tomar nos momentos de tempo são todos iguais a zero. Isso faz com que a soma dos quadrados das diferenças seja zero, o que significa que não há erro entre os valores observados e os valores previstos pela curva .

Resposta

Os valores de devem ser zero nos momentos de tempo , e para que a melhor curva seja .

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