Suponha que a curva com a equação
seja a melhor aproximação por mínimos quadrados para os pontos experimentais
. © Quais os valores que y deveria tomar nos momentos de tempo
para que a melhor curva seja a curva
(ou seja:
e
)
pontos)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva da forma
que melhor se ajusta aos pontos experimentais usando o método dos mínimos quadrados. Os pontos dados são
,
e
.
Na parte ©, a pergunta é: quais valores
deveriam ter nos momentos de tempo
para que a melhor curva seja
(isto é,
e
)?
O conteúdo que vamos utilizar aqui é o método dos mínimos quadrados, que ajuda a encontrar a melhor linha que se ajusta aos dados minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a melhor curva seja
. Isso quer dizer que estamos escolhendo uma linha horizontal que passa pela origem (já que
e
), e queremos que essa seja a linha que minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores
observados e
previstos pela linha.
Em termos matemáticos, queremos que:
seja mínima. Isso simplifica para:
Então, para que
seja a melhor curva, precisamos que a soma dos quadrados dos valores
seja a menor possível.
Passo 3
Agora, vamos considerar os pontos nos quais queremos que isso ocorra:
. Queremos encontrar os valores de
nesses tempos que garantam que
seja a melhor curva.
Substituindo
na equação da curva
, temos que
deve ser igual a zero nesses pontos para que a linha
se ajuste perfeitamente, ou seja:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 4
Portanto, os valores que
deve tomar nos momentos de tempo
são todos iguais a zero. Isso faz com que a soma dos quadrados das diferenças seja zero, o que significa que não há erro entre os valores observados e os valores previstos pela curva
.
Resposta
Os valores de
devem ser zero nos momentos de tempo
,
e
para que a melhor curva seja
.