Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas
(b) Se
, então
.
(b) Se
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: Se
, então
. Estamos trabalhando com vetores e suas magnitudes (comprimentos). Precisamos verificar se a soma das normas dos vetores
e
sempre resulta na norma de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor
é calculada por
em um espaço n-dimensional. A soma de dois vetores,
, combina as componentes de
e
.
Passo 3
Para que
seja verdadeira, os vetores
e
precisam estar na mesma direção. Isso ocorre porque, nesse caso, suas magnitudes se somam diretamente sem alterar a direção da resultante
.
Passo 4
No entanto, se os vetores
e
não estiverem na mesma direção, a norma de
não será simplesmente a soma das normas de
e
. Isso acontece devido ao teorema de Pitágoras, onde a norma da soma envolve também o ângulo entre os vetores.
Passo 5
Vamos apresentar um contra-exemplo para mostrar que a afirmação nem sempre é verdadeira. Considere os vetores
e
no plano cartesiano.
Passo 6
Calculando
.
Passo 7
Agora, calculamos as normas:
Passo 8
Observamos que
. Portanto, a norma da soma dos vetores não é igual à soma das normas.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é
e
, onde
.