Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas
(b) Se , então .
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: Se , então . Estamos trabalhando com vetores e suas magnitudes (comprimentos). Precisamos verificar se a soma das normas dos vetores e sempre resulta na norma de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor é calculada por em um espaço n-dimensional. A soma de dois vetores, , combina as componentes de e .
Passo 3
Para que seja verdadeira, os vetores e precisam estar na mesma direção. Isso ocorre porque, nesse caso, suas magnitudes se somam diretamente sem alterar a direção da resultante .
Passo 4
No entanto, se os vetores e não estiverem na mesma direção, a norma de não será simplesmente a soma das normas de e . Isso acontece devido ao teorema de Pitágoras, onde a norma da soma envolve também o ângulo entre os vetores.
Passo 5
Vamos apresentar um contra-exemplo para mostrar que a afirmação nem sempre é verdadeira. Considere os vetores e no plano cartesiano.
Passo 6
Calculando .
Passo 7
Agora, calculamos as normas:
Passo 8
Observamos que . Portanto, a norma da soma dos vetores não é igual à soma das normas.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é e , onde .