Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas
(b) Se u=v+w, então |u|=|v|+|w|.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: Se , então . Estamos trabalhando com vetores e suas magnitudes (comprimentos). Precisamos verificar se a soma das normas dos vetores e sempre resulta na norma de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor é calculada por em um espaço n-dimensional. A soma de dois vetores, , combina as componentes de e .

Passo 3

Para que seja verdadeira, os vetores e precisam estar na mesma direção. Isso ocorre porque, nesse caso, suas magnitudes se somam diretamente sem alterar a direção da resultante .

Passo 4

No entanto, se os vetores e não estiverem na mesma direção, a norma de não será simplesmente a soma das normas de e . Isso acontece devido ao teorema de Pitágoras, onde a norma da soma envolve também o ângulo entre os vetores.

Passo 5

Vamos apresentar um contra-exemplo para mostrar que a afirmação nem sempre é verdadeira. Considere os vetores e no plano cartesiano.

Passo 6

Calculando .

Passo 7

Agora, calculamos as normas:
|v| = raiz1^2 + 0^2 = 1
|w| = raiz0^2 + 1^2 = 1
|u| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 approx 1,414

Passo 8

Observamos que . Portanto, a norma da soma dos vetores não é igual à soma das normas.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é e , onde .

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