Fixada uma base E, verifique se os vetores são l.i. ou l.d., no caso dos vetores serem l.d. escreva um deles como combinação linear dos demais.
(a) v1=(1,2,3), v2=(4,5,6), v3=(2,1,0);

Passo 1

Vamos lá! Temos três vetores no espaço tridimensional e precisamos ver se eles são linearmente independentes (l.i.) ou linearmente dependentes (l.d.). Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma combinação linear desses vetores igual a zero:
a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 = 0
Substituindo os vetores dados:
a1 (1, 2, 3) + a2 (4, 5, 6) + a3 (2, 1, 0) = (0, 0, 0)

Passo 3

Isso resulta em um sistema de equações:
1a1 + 4a2 + 2a3 = 0 2a1 + 5a2 + 1a3 = 0 3a1 + 6a2 + 0a3 = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Da terceira equação:
3a1 + 6a2 = 0 Rightarrow a1 = -2a2

Passo 5

Substituindo a1 = -2a2 na primeira equação:
-2a2 + 4a2 + 2a3 = 0 Rightarrow 2a2 + 2a3 = 0 Rightarrow a2 = -a3
E sabendo que a1 = -2a2, temos:
a1 = 2a3

Passo 6

Como conseguimos expressar a1 e a2 em termos de a3, isso significa que existe uma solução não trivial para o sistema (ou seja, além de a1 = a2 = a3 = 0). Portanto, os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes e v3 = -2,v1 + v2.

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