Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a reta é paralela ao plano . Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores diretores e normais a planos. Primeiro, vamos identificar os vetores que vamos usar para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da reta r: l x=3 t + 1 y=-2 t -1 z=t :
d = 3 -2 1
Aqui, é o parâmetro. O vetor diretor da reta é o vetor que multiplica nas equações paramétricas. Então, o vetor diretor de é:
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação do plano pi: x + 2y + 2z = 3 :
a b c
A equação geral de um plano é n = 1 2 2 , onde é o vetor normal ao plano. Então, para o plano , o vetor normal é:
Passo 4
Para determinar se a reta é paralela ao plano , precisamos verificar se o vetor diretor da reta é ortogonal (perpendicular) ao vetor normal do plano . Se eles forem ortogonais, a reta é paralela ao plano.
Passo 5
A condição para que dois vetores sejam ortogonais é que o produto escalar entre eles seja zero. O produto escalar d cdot n = (3)(1) + (-2)(2) + (1)(2) = 3 - 4 + 2 = 1 é calculado assim:
Passo 6
O resultado do produto escalar foi 1, que não é igual a zero. Isso significa que os vetores e não são ortogonais.
Passo 7
Como o vetor diretor da reta não é ortogonal ao vetor normal do plano, isso significa que a reta não é paralela ao plano .