Mostrar que a reta
r:l x=3 t+1 y=-2 t-1 z=t
é paralela ao plano pi: x+2 y+2+3=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a reta é paralela ao plano . Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores diretores e normais a planos. Primeiro, vamos identificar os vetores que vamos usar para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta r: l x=3 t + 1 y=-2 t -1 z=t :
d = 3 -2 1
Aqui, é o parâmetro. O vetor diretor da reta é o vetor que multiplica nas equações paramétricas. Então, o vetor diretor de é:

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação do plano pi: x + 2y + 2z = 3 :
a b c
A equação geral de um plano é n = 1 2 2 , onde é o vetor normal ao plano. Então, para o plano , o vetor normal é:

Passo 4

Para determinar se a reta é paralela ao plano , precisamos verificar se o vetor diretor da reta é ortogonal (perpendicular) ao vetor normal do plano . Se eles forem ortogonais, a reta é paralela ao plano.

Passo 5

A condição para que dois vetores sejam ortogonais é que o produto escalar entre eles seja zero. O produto escalar d cdot n = (3)(1) + (-2)(2) + (1)(2) = 3 - 4 + 2 = 1 é calculado assim:

Passo 6

O resultado do produto escalar foi 1, que não é igual a zero. Isso significa que os vetores e não são ortogonais.

Passo 7

Como o vetor diretor da reta não é ortogonal ao vetor normal do plano, isso significa que a reta não é paralela ao plano .

Resposta

A reta não é paralela ao plano .

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