Verifique em cada caso a seguir, se o conjunto S é um subespaço vetorial do espaço vetorial V. Seja V=R^2 e S=(x, y) in R^2 mid x>0.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos o espaço vetorial e um conjunto . Nosso objetivo é verificar se é um subespaço vetorial de . Para isso, precisamos conhecer os critérios que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar os três critérios principais para que um conjunto seja um subespaço vetorial:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero do espaço deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão em , a soma deles também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em , qualquer múltiplo escalar desse vetor também deve estar em .
Vamos verificar cada um desses critérios para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em x = 0 é . Vamos verificar se ele está em :
Como é a condição para os vetores em , não pertence a .

Passo 4

Como o primeiro critério já não é satisfeito (o vetor zero não está em ), não precisamos verificar os outros dois critérios. Um dos três já faltou, então não pode ser um subespaço vetorial de .

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de porque não contém o vetor zero.

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