Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta.
(b) Se
é um campo vetorial em
cujas componentes têm derivadas de segunda ordem contínuas, então
.
(b) Se
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Se
é um campo vetorial em
cujas componentes têm derivadas de segunda ordem contínuas, então
.”
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com as operações de divergente (
) e rotor (
) de um campo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas operações faz e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o rotor de um campo vetorial. O rotor, ou
, de um campo vetorial
é outro campo vetorial que mede a tendência de rotação em torno de cada ponto. A fórmula para o rotor em coordenadas cartesianas é:
Passo 3
Agora, vamos ver o que é o divergente de um campo vetorial. O divergente, ou
, de um campo vetorial
é um escalar que mede a taxa de “saída” do campo em cada ponto. A fórmula para o divergente em coordenadas cartesianas é:
Passo 4
Queremos calcular
. Vamos substituir o rotor de
na fórmula do divergente:
Passo 5
Agora, vamos expandir cada termo:
Passo 6
Observando os termos, percebemos que cada par de derivadas mistas é igual devido à continuidade das derivadas de segunda ordem (por hipóteses do enunciado):
Passo 7
Substituindo essas igualdades na expressão de
, vemos que cada termo positivo cancela com um termo negativo correspondente:
Resposta
A afirmação é verdadeira.
Exercícios relacionados
Determine os vetores tangente unitário
, normal principal unitário
e Binormal
da curva dada por
, sen
, em
.
Uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante
(em segundos) é
© Determine as componentes tangencial e normal da aceleração da partícula no instante de tempo
.
Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta.
© Se uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante (em segundos) é
(todas as componentes estão em metros), então a distância percorrrida pela partícula no intervalo de tempo
é igual a
.
© Se uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante
Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação: