Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta.
(b) Se F é um campo vetorial em R^3 cujas componentes têm derivadas de segunda ordem contínuas, então div(rot(F)) = 0.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Se F é um campo vetorial em R^3 cujas componentes têm derivadas de segunda ordem contínuas, então div(rot(F)) = 0.”
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com as operações de divergente ( ) e rotor ( ) de um campo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas operações faz e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o rotor de um campo vetorial. O rotor, ou , de um campo vetorial é outro campo vetorial que mede a tendência de rotação em torno de cada ponto. A fórmula para o rotor em coordenadas cartesianas é:

Passo 3

Agora, vamos ver o que é o divergente de um campo vetorial. O divergente, ou , de um campo vetorial é um escalar que mede a taxa de “saída” do campo em cada ponto. A fórmula para o divergente em coordenadas cartesianas é:

Passo 4

Queremos calcular . Vamos substituir o rotor de F na fórmula do divergente:

Passo 5

Agora, vamos expandir cada termo:

Passo 6

Observando os termos, percebemos que cada par de derivadas mistas é igual devido à continuidade das derivadas de segunda ordem (por hipóteses do enunciado):

Passo 7

Substituindo essas igualdades na expressão de , vemos que cada termo positivo cancela com um termo negativo correspondente:

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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