Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta.
© Se uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante t (em segundos) é r(t) = (cos(t), sen(t), 2t), 0 <= t < infinito (todas as componentes estão em metros), então a distância percorrrida pela partícula no intervalo de tempo 2 pi <= t <= 4 pi é igual a 4 pi raiz(5) m.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move no espaço, e a posição dela no tempo é dada por , onde está em segundos e as posições estão em metros. A pergunta é: a distância que essa partícula percorre no intervalo de tempo de a segundos é igual a metros? Vamos descobrir se isso é verdade ou falso!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular a distância percorrida por uma partícula quando ela se move de acordo com uma função de posição . A distância total percorrida é dada pela integral da velocidade ao longo do tempo. Matemáticamente, isso é:
â
Onde é a velocidade, que é a derivada da posição em relação ao tempo .

Passo 3

Vamos encontrar a velocidade derivando cada componente de :

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude da velocidade , que nos dá a velocidade escalar da partícula:
Sabemos que (identidade trigonométrica), então:

Passo 5

A velocidade escalar é constante e igual a m/s. Para encontrar a distância percorrida no intervalo de tempo de a , multiplicamos essa velocidade pela duração do intervalo:
â

Resposta

A afirmação é falsa. A distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo é igual a metros, não metros.

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