Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta.
© Se uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante
(em segundos) é
(todas as componentes estão em metros), então a distância percorrrida pela partícula no intervalo de tempo
é igual a
.
© Se uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move no espaço, e a posição dela no tempo
é dada por , onde
está em segundos e as posições estão em metros. A pergunta é: a distância que essa partícula percorre no intervalo de tempo de
a
segundos é igual a
metros? Vamos descobrir se isso é verdade ou falso!
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular a distância percorrida por uma partícula quando ela se move de acordo com uma função de posição
. A distância total percorrida é dada pela integral da velocidade ao longo do tempo. Matemáticamente, isso é:
Onde
é a velocidade, que é a derivada da posição
em relação ao tempo
.
Passo 3
Vamos encontrar a velocidade
derivando cada componente de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a magnitude da velocidade
, que nos dá a velocidade escalar da partícula:
Sabemos que (identidade trigonométrica), então:
Passo 5
A velocidade escalar
é constante e igual a
m/s. Para encontrar a distância percorrida no intervalo de tempo de
a
, multiplicamos essa velocidade pela duração do intervalo:
Resposta
A afirmação é falsa. A distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo
é igual a
metros, não
metros.
Exercícios relacionados
Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta.
(b) Se é um campo vetorial em
cujas componentes têm derivadas de segunda ordem contínuas, então
.
(b) Se
Determine os vetores tangente unitário
, normal principal unitário
e Binormal
da curva dada por
, sen
, em
.
Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:
Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação: