Uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante
(em segundos) é
(d) Determine o instante de tempo
no qual a partícula atinge a velocidade escalar de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de uma partícula no espaço, onde a posição dela em qualquer tempo
é dada pela função vetorial:
O que precisamos encontrar aqui é o instante de tempo
em que a velocidade escalar da partícula atinge
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade a partir da posição e como encontrar a velocidade escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade de uma partícula é a derivada da sua posição em relação ao tempo. Ou seja:
Vamos calcular essa derivada para cada componente do vetor posição.
Passo 3
Aplicando a derivada em cada componente de
:
Então, a velocidade vetorial fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a velocidade escalar, que é o módulo do vetor velocidade. A fórmula para o módulo de um vetor
é:
Aplicando isso à nossa velocidade:
Passo 5
Queremos encontrar o tempo
em que a velocidade escalar é
. Então, igualamos as duas expressões:
Para resolver essa equação, vamos primeiro elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Passo 6
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Agora, isolamos
:
Passo 7
Por fim, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Resposta
A partícula atinge a velocidade escalar de
no instante
segundos.