Uma partícula se desloca no espaço de forma que sua posição no instante t (em segundos) é
r(t) = t * i + (t^2 + 1) * j + k, 0 <= t < infinito (todas as componentes estão em metros)ã
(d) Determine o instante de tempo t no qual a partícula atinge a velocidade escalar de raiz(101) m/s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de uma partícula no espaço, onde a posição dela em qualquer tempo é dada pela função vetorial:
O que precisamos encontrar aqui é o instante de tempo em que a velocidade escalar da partícula atinge . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade a partir da posição e como encontrar a velocidade escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade de uma partícula é a derivada da sua posição em relação ao tempo. Ou seja:
Vamos calcular essa derivada para cada componente do vetor posição.

Passo 3

Aplicando a derivada em cada componente de :
Então, a velocidade vetorial fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade escalar, que é o módulo do vetor velocidade. A fórmula para o módulo de um vetor é:
Aplicando isso à nossa velocidade:

Passo 5

Queremos encontrar o tempo em que a velocidade escalar é . Então, igualamos as duas expressões:
Para resolver essa equação, vamos primeiro elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:

Passo 6

Subtraindo 1 de ambos os lados:
Agora, isolamos :

Passo 7

Por fim, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :

Resposta

A partícula atinge a velocidade escalar de no instante segundos.

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