Determine quais dos conjuntos abaixo são L.I. e quais são L.D. Justifique tudo com seus cálculos. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se o conjunto de vetores é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre dependência e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar verificar se existe uma combinação linear dos vetores que resulte no vetor zero, além da combinação trivial onde todos os coeficientes são zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se não existe nenhuma combinação não trivial que satisfaça essa condição, os vetores são L.I. Caso contrário, se existir uma combinação não trivial que dê o vetor zero, os vetores são linearmente dependentes (L.D.).
Passo 3
Para verificar isso, vamos supor que existam escalares e tais que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Observamos que as segunda e terceira equações são iguais, então na verdade temos três equações distintas:
c1 + 2c2 = 0 2c1 + 4c2 = 0 3c1 + 5c2 = 0
Da primeira equação, podemos expressar c1 = -2c2 em termos de 2(-2c2) + 4c2 = -4c2 + 4c2 = 0 :
3(-2c2) + 5c2 = -6c2 + 5c2 = -c2 = 0
Substituindo na segunda equação:
Isso confirma que qualquer valor de satisfaz as duas primeiras equações. Vamos agora para a terceira equação:
A única solução para isso é , o que leva a . Portanto, a única solução é a combinação trivial.
Passo 5
Como a única solução do sistema é a combinação trivial e , isso significa que os vetores são linearmente independentes (L.I.).
Resposta
O conjunto (1,2,2,3),(2,4,4,5) é linearmente independente.