Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Se verdadeira, apresente uma justificativa. Se falsa, apresente um contra-exemplo. Se
e
, então
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores
,
e
no espaço
. Sabemos que
está no conjunto que combina
e
, ou seja,
. A pergunta é: será que
também está no conjunto que combina
e
, ou seja,
? Vamos precisar usar conceitos de combinação linear e spans para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que
. Isso quer dizer que existe algum(s) escalar(es)
e
tais que:
Agora, queremos ver se conseguimos escrever
como uma combinação linear de
e
.
Passo 3
Vamos tentar expressar
e
em termos de
e
. Para isso, somamos e subtraímos essas duas expressões:
Dividindo ambos os lados por 2, temos:
Passo 4
Agora, substituímos essas expressões na equação original de
:
Simplificando:
Isso mostra que
pode ser escrita como uma combinação linear de
e
.
Resposta
Verdadeira. Qualquer vetor
na span de
também está na span de
, pois
e
podem ser expressos como combina��ões lineares de
e
.