Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Se verdadeira, apresente uma justificativa. Se falsa, apresente um contra-exemplo. Se u, v, w in R^n e w in spanu, v, então w in spanu+v, u-v.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores , e no espaço . Sabemos que está no conjunto que combina e , ou seja, . A pergunta é: será que também está no conjunto que combina e , ou seja, ? Vamos precisar usar conceitos de combinação linear e spans para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que w = au + bv . Isso quer dizer que existe algum(s) escalar(es) e tais que:
Agora, queremos ver se conseguimos escrever como uma combinação linear de e .

Passo 3

Vamos tentar expressar (u + v) + (u - v) &= 2u (u + v) - (u - v) &= 2v e u = (u + v) + (u - v)2 em termos de v = (u + v) - (u - v)2 e . Para isso, somamos e subtraímos essas duas expressões:
Dividindo ambos os lados por 2, temos:

Passo 4

Agora, substituímos essas expressões na equação original de w = au + bv = a ( (u + v) + (u - v)2 ) + b ( (u + v) - (u - v)2 ) :
w = a + b2 (u + v) + a - b2 (u - v)
Simplificando:
Isso mostra que pode ser escrita como uma combinação linear de e .

Resposta

Verdadeira. Qualquer vetor na span de também está na span de , pois e podem ser expressos como combina��ões lineares de e .

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