Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa mostrar que o conjunto de vetores é linearmente independente. Isso está no campo da álgebra linear, especificamente tratando de independência linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e como utilizar combinações lineares para provar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são os vetores . Cada vetor é a soma dos primeiros vetores da base canônica de . Ou seja,
onde cada é um vetor com 1 na posição e 0 nas demais.
Passo 3
Agora, para mostrar que os vetores são linearmente independentes, vamos assumir que existe uma combinação linear deles que resulta no vetor nulo . Em outras palavras, queremos ver se a única solução para:
é que todos os coeficientes sejam zero.
Passo 4
Vamos expandir essa combinação linear usando a definição de cada :
Simplificando, isso fica:
Passo 5
Como os vetores são a base canônica e são linearmente independentes, isso significa que cada coeficiente que multiplica esses vetores deve ser igual a zero. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de baixo para cima. Começando pela última equação:
cn = 0
Substituindo cn = 0 na penúltima equação:
cn-1 + cn = cn-1 + 0 = cn-1 = 0
Continuando desse jeito, vemos que cn-2, cn-3, ldots, c1 também devem ser iguais a zero.
Passo 7
Portanto, a única solução para a combinação linear que resulta no vetor nulo é quando todos os coeficientes c1, c2, ldots, cn são iguais a zero. Isso significa que os vetores v1, v2, ldots, vn são linearmente independentes.
Resposta
O conjunto v1, v2, ldots, vn é linearmente independente.