Sejam ei in R^n, i=1, ldots, n, dados por
rcc e1 & = & (1,0,0, ldots, 0,0) e2 & = & (0,1,0, ldots, 0,0) vdots & vdots en-1 & =(0,0,0, ldots, 1,0) en & = & (0,0,0, ldots, 0,1)
Mostre que o conjunto v1, v2, ldots, vn, onde
vk=e1+cdots+ek
para k=1, ldots, n, é linearmente independente.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa mostrar que o conjunto de vetores v1, v2, ldots, vn é linearmente independente. Isso está no campo da álgebra linear, especificamente tratando de independência linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e como utilizar combinações lineares para provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são os vetores vk. Cada vetor vk é a soma dos primeiros k vetores da base canônica de R^n. Ou seja,
vk = e1 + e2 + cdots + ek
onde cada ei é um vetor com 1 na posição i e 0 nas demais.

Passo 3

Agora, para mostrar que os vetores v1, v2, ldots, vn são linearmente independentes, vamos assumir que existe uma combinação linear deles que resulta no vetor nulo 0. Em outras palavras, queremos ver se a única solução para:
c1v1 + c2v2 + cdots + cnvn = 0
é que todos os coeficientes c1, c2, ldots, cn sejam zero.

Passo 4

Vamos expandir essa combinação linear usando a definição de cada vk:
c1(e1) + c2(e1 + e2) + cdots + cn(e1 + e2 + cdots + en) = 0
Simplificando, isso fica:
(c1 + c2 + cdots + cn)e1 + (c2 + c3 + cdots + cn)e2 + cdots + cnen = 0

Passo 5

Como os vetores e1, e2, ldots, en são a base canônica e são linearmente independentes, isso significa que cada coeficiente que multiplica esses vetores deve ser igual a zero. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:
c1 + c2 + cdots + cn = 0 c2 + c3 + cdots + cn = 0 vdots cn = 0

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de baixo para cima. Começando pela última equação:
cn = 0
Substituindo cn = 0 na penúltima equação:
cn-1 + cn = cn-1 + 0 = cn-1 = 0
Continuando desse jeito, vemos que cn-2, cn-3, ldots, c1 também devem ser iguais a zero.

Passo 7

Portanto, a única solução para a combinação linear que resulta no vetor nulo é quando todos os coeficientes c1, c2, ldots, cn são iguais a zero. Isso significa que os vetores v1, v2, ldots, vn são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto v1, v2, ldots, vn é linearmente independente.

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