Determine m e n para que se tenha: (m, n, 2) cdot((3,1,2) times(0,1,-1))=9
9. Determinar uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A(2,-3,4) e B(1,-1,2) e verificar se os pontos C(52,-4,5) e D(-1,3,4) pertencem a r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois problemas aqui! Primeiro, precisamos encontrar os valores de e que satisfazem a equação envolvendo produto vetorial e produto escalar. Segundo, vamos determinar a equação vetorial de uma reta definida por dois pontos e verificar se outros dois pontos estão nessa reta. Para isso, vamos precisar entender conceitos de vetores, produto vetorial, produto escalar e equações de retas no espaço.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro problema: encontrar (m, n, 2) cdot ((3, 1, 2) times (0, 1, -1)) = 9 e tais que
Aqui, representa o produto vetorial e o produto escalar entre vetores.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial a times b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1) . O produto vetorial de dois vetores (3, 1, 2) times (0, 1, -1) = (1*(-1) - 2*1, 2*0 - 3*(-1), 3*1 - 1*0) = (-1 - 2, 0 + 3, 3 - 0) = (-3, 3, 3) e é dado por:
Aplicando isso aos vetores dados:

Passo 4

Agora, temos o produto vetorial resultando em (m, n, 2) cdot (-3, 3, 3) = m*(-3) + n*3 + 2*3 = -3m + 3n + 6 . Vamos calcular o produto escalar com o vetor -3m + 3n + 6 = 9 :
Esse resultado deve ser igual a 9:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
-3m + 3n = 9 - 6 -3m + 3n = 3
Podemos dividir todos os termos por 3:
- m + n = 1
Ou seja:
n = m + 1
Isso nos dá uma relação entre e , ou seja, é igual a .

Passo 6

Como temos apenas uma equação com duas incógnitas, há infinitas soluções possíveis. Para expressar e em termos de uma variável, podemos escolher um valor para e calcular usando a relação . Por exemplo, se escolhermos , então . Se , então , e assim por diante.

Passo 7

Agora, vamos para o segundo problema: determinar uma equação vetorial da reta definida pelos pontos e , e verificar se os pontos e pertencem a .

Passo 8

A equação vetorial de uma reta pode ser escrita como:
r(t) = a + td
Onde é um ponto da reta e é o vetor diretor da reta. Vamos usar o ponto como .

Passo 9

Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor d = B - A = (1 - 2, -1 - (-3), 2 - 4) = (-1, 2, -2) . Ele pode ser calculado subtraindo as coordenadas de pelas de :
Então, o vetor diretor é .

Passo 10

Agora, a equação vetorial da reta r(t) = (2, -3, 4) + t(-1, 2, -2) é:
x = 2 - t y = -3 + 2t z = 4 - 2t
Ou, de forma componente a componente:

Passo 11

Vamos verificar se o ponto 2 - t = 52 -t = 52 - 2 -t = 12 t = -12 está na reta y = -3 + 2*(-12) = -3 -1 = -4 . Para isso, precisamos encontrar um valor de z = 4 - 2*(-12) = 4 +1 = 5 que satisfaça todas as três equações para as coordenadas , e .
Primeiro, pela coordenada :
Agora, verificamos com na coordenada :
E na coordenada :
Como todas as coordenadas conferem, o ponto está na reta .

Passo 12

Agora, vamos verificar o ponto 2 - t = -1 -t = -1 -2 -t = -3 t = 3 . Novamente, buscamos um valor de y = -3 + 2*3 = -3 +6 = 3 que satisfaça todas as coordenadas.
Primeiro, pela coordenada z = 4 - 2*3 = 4 -6 = -2 :
Verificamos com na coordenada :
E na coordenada :
Aqui, a coordenada não coincide com o valor de , que é 4. Portanto, o ponto não está na reta .

Resposta

Para o primeiro problema, os valores de r(t) = (2, -3, 4) + t(-1, 2, -2) e x = 2 - t y = -3 + 2t z = 4 - 2t satisfazem a relação , podendo assumir infinitas soluções como e , e , etc.
Para o segundo problema, a equação vetorial da reta é:
Ou, de forma componente a componente:
Além disso, o ponto pertence à reta , enquanto o ponto não pertence à reta .

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