Determine
e
para que se tenha:
9. Determinar uma equação vetorial da reta
definida pelos pontos
e
e verificar se os pontos
e
pertencem a
.
9. Determinar uma equação vetorial da reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver dois problemas aqui! Primeiro, precisamos encontrar os valores de
e
que satisfazem a equação envolvendo produto vetorial e produto escalar. Segundo, vamos determinar a equação vetorial de uma reta definida por dois pontos e verificar se outros dois pontos estão nessa reta. Para isso, vamos precisar entender conceitos de vetores, produto vetorial, produto escalar e equações de retas no espaço.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro problema: encontrar
e
tais que
Aqui,
representa o produto vetorial e
o produto escalar entre vetores.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial
. O produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos vetores dados:
Passo 4
Agora, temos o produto vetorial resultando em
. Vamos calcular o produto escalar com o vetor
:
Esse resultado deve ser igual a 9:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação:
Podemos dividir todos os termos por 3:
Ou seja:
Isso nos dá uma relação entre
e
, ou seja,
é igual a
.
Passo 6
Como temos apenas uma equação com duas incógnitas, há infinitas soluções possíveis. Para expressar
e
em termos de uma variável, podemos escolher um valor para
e calcular
usando a relação
. Por exemplo, se escolhermos
, então
. Se
, então
, e assim por diante.
Passo 7
Agora, vamos para o segundo problema: determinar uma equação vetorial da reta
definida pelos pontos
e
, e verificar se os pontos
e
pertencem a
.
Passo 8
A equação vetorial de uma reta pode ser escrita como:
Onde
é um ponto da reta e
é o vetor diretor da reta. Vamos usar o ponto
como
.
Passo 9
Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor
. Ele pode ser calculado subtraindo as coordenadas de
pelas de
:
Então, o vetor diretor é
.
Passo 10
Agora, a equação vetorial da reta
é:
Ou, de forma componente a componente:
Passo 11
Vamos verificar se o ponto
está na reta
. Para isso, precisamos encontrar um valor de
que satisfaça todas as três equações para as coordenadas
,
e
.
Primeiro, pela coordenada
:
Agora, verificamos com
na coordenada
:
E na coordenada
:
Como todas as coordenadas conferem, o ponto
está na reta
.
Passo 12
Agora, vamos verificar o ponto
. Novamente, buscamos um valor de
que satisfaça todas as coordenadas.
Primeiro, pela coordenada
:
Verificamos com
na coordenada
:
E na coordenada
:
Aqui, a coordenada
não coincide com o valor de
, que é 4. Portanto, o ponto
não está na reta
.
Resposta
Para o primeiro problema, os valores de
e
satisfazem a relação
, podendo assumir infinitas soluções como
e
,
e
, etc.
Para o segundo problema, a equação vetorial da reta
é:
Ou, de forma componente a componente:
Além disso, o ponto
pertence à reta
, enquanto o ponto
não pertence à reta
.
Exercícios relacionados
Determine
e
reais para que as retas
sejam coplanares e obtenha nesse caso uma equação geral para o plano delas.
Em cada parte, encontre a matriz aumentada do sistema de equações lineares dado.
e)
e)
A reta
passa pelo ponto
e é paralela à reta se
, determine
e
.
14. Determine equações paramétricas da reta que passa pelos pontos e
nos seguintes casos:
a)
14. Determine equações paramétricas da reta que passa pelos pontos
a)
As grandezas vetoriais podem ser somadas entre si, assim como as escalares. Entretanto, não existe definição algébrica para a composição aditiva entre grandezas vetoriais e escalares. A partir desse fato, determinai se as operações abaixo estão corretas.
f) .
f)