Determine e para que se tenha:
9. Determinar uma equação vetorial da reta definida pelos pontos e e verificar se os pontos e pertencem a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois problemas aqui! Primeiro, precisamos encontrar os valores de e que satisfazem a equação envolvendo produto vetorial e produto escalar. Segundo, vamos determinar a equação vetorial de uma reta definida por dois pontos e verificar se outros dois pontos estão nessa reta. Para isso, vamos precisar entender conceitos de vetores, produto vetorial, produto escalar e equações de retas no espaço.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro problema: encontrar e tais que
Aqui, representa o produto vetorial e o produto escalar entre vetores.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos vetores dados:

Passo 4

Agora, temos o produto vetorial resultando em . Vamos calcular o produto escalar com o vetor :
Esse resultado deve ser igual a 9:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
Podemos dividir todos os termos por 3:
Ou seja:
Isso nos dá uma relação entre e , ou seja, é igual a .

Passo 6

Como temos apenas uma equação com duas incógnitas, há infinitas soluções possíveis. Para expressar e em termos de uma variável, podemos escolher um valor para e calcular usando a relação . Por exemplo, se escolhermos , então . Se , então , e assim por diante.

Passo 7

Agora, vamos para o segundo problema: determinar uma equação vetorial da reta definida pelos pontos e , e verificar se os pontos e pertencem a .

Passo 8

A equação vetorial de uma reta pode ser escrita como:
Onde é um ponto da reta e é o vetor diretor da reta. Vamos usar o ponto como .

Passo 9

Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor . Ele pode ser calculado subtraindo as coordenadas de pelas de :
Então, o vetor diretor é .

Passo 10

Agora, a equação vetorial da reta é:
Ou, de forma componente a componente:

Passo 11

Vamos verificar se o ponto está na reta . Para isso, precisamos encontrar um valor de que satisfaça todas as três equações para as coordenadas , e .
Primeiro, pela coordenada :
Agora, verificamos com na coordenada :
E na coordenada :
Como todas as coordenadas conferem, o ponto está na reta .

Passo 12

Agora, vamos verificar o ponto . Novamente, buscamos um valor de que satisfaça todas as coordenadas.
Primeiro, pela coordenada :
Verificamos com na coordenada :
E na coordenada :
Aqui, a coordenada não coincide com o valor de , que é 4. Portanto, o ponto não está na reta .

Resposta

Para o primeiro problema, os valores de e satisfazem a relação , podendo assumir infinitas soluções como e , e , etc.
Para o segundo problema, a equação vetorial da reta é:
Ou, de forma componente a componente:
Além disso, o ponto pertence à reta , enquanto o ponto não pertence à reta .

Exercícios relacionados

Determine e reais para que as retas
sejam coplanares e obtenha nesse caso uma equação geral para o plano delas.
Em cada parte, encontre a matriz aumentada do sistema de equações lineares dado.
e)
A reta passa pelo ponto e é paralela à reta se , determine e .
14. Determine equações paramétricas da reta que passa pelos pontos e nos seguintes casos:
a)
As grandezas vetoriais podem ser somadas entre si, assim como as escalares. Entretanto, não existe definição algébrica para a composição aditiva entre grandezas vetoriais e escalares. A partir desse fato, determinai se as operações abaixo estão corretas.
f) .