Esboce os gráficos e determine os elementos principais das cônicas abaixo.
(e)
;
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da cônica dada e identificar seus elementos principais. A equação que temos é
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cônicas, especificamente hipérboles, já que essa equação representa uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação
tem sinais diferentes entre os termos de
e
, o que indica que é uma hipérbole.
Passo 3
Agora, vamos colocar a equação na forma padrão da hipérbole. A forma padrão para uma hipérbole que abre para os lados (horizontal) é:
Comparando com a nossa equação, vemos que
e
, então o centro da hipérbole está na origem
. Além disso,
e
, o que nos dá
e
.
Passo 4
Com
e
, podemos determinar alguns elementos principais da hipérbole:
-
Centro:
-
Vértices: São os pontos mais próximos ao centro onde a hipérbole intercepta os eixos. Como a hipérbole abre horizontalmente, os vértices ficam a
unidades do centro ao longo do eixo . Então, os vértices são . -
Assíntotas: São linhas que a hipérbole se aproxima infinitamente. A inclinação das assíntotas é dada por
. Então, as equações das assíntotas são:
Passo 5
Com todas essas informações, vamos esboçar o gráfico:
- Centro: Marque o ponto
. - Vértices: Marque os pontos
e . - Assíntotas: Desenhe as linhas
e . - Ramos da hipérbole: Desenhe os dois ramos que se abrem para a direita e para a esquerda, aproximando-se das assíntotas.
Resposta
A hipérbole representada pela equação
tem centro na origem
, vértices em
e
, e assíntotas dadas por
e
. O gráfico consiste em dois ramos que se abrem horizontalmente, aproximando-se das assíntotas.
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Esboce os gráficos e determine os elementos principais das cônicas abaixo.
(g)
(g)
Determine
de modo que
e
sejam ortogonais, onde:
b) .
b)
Uma circunferência de raio
tem seu centro
no primeiro quadrante do plano, ou seja, que
. Determine as condições sobre os números
e
de modo que a circunferência:
a) não intersecte os eixos coordenados;
a) não intersecte os eixos coordenados;
Esboce os gráficos e determine os elementos principais das cônicas abaixo.
(f)
(f)