Esboce os gráficos e determine os elementos principais das cônicas abaixo.
(e) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da cônica dada e identificar seus elementos principais. A equação que temos é . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cônicas, especificamente hipérboles, já que essa equação representa uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação tem sinais diferentes entre os termos de e , o que indica que é uma hipérbole.

Passo 3

Agora, vamos colocar a equação na forma padrão da hipérbole. A forma padrão para uma hipérbole que abre para os lados (horizontal) é:
Comparando com a nossa equação, vemos que e , então o centro da hipérbole está na origem . Além disso, e , o que nos dá e .

Passo 4

Com e , podemos determinar alguns elementos principais da hipérbole:
  • Centro:
  • Vértices: São os pontos mais próximos ao centro onde a hipérbole intercepta os eixos. Como a hipérbole abre horizontalmente, os vértices ficam a unidades do centro ao longo do eixo . Então, os vértices são .
  • Assíntotas: São linhas que a hipérbole se aproxima infinitamente. A inclinação das assíntotas é dada por . Então, as equações das assíntotas são:

Passo 5

Com todas essas informações, vamos esboçar o gráfico:
  1. Centro: Marque o ponto .
  2. Vértices: Marque os pontos e .
  3. Assíntotas: Desenhe as linhas e .
  4. Ramos da hipérbole: Desenhe os dois ramos que se abrem para a direita e para a esquerda, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

A hipérbole representada pela equação tem centro na origem , vértices em e , e assíntotas dadas por e . O gráfico consiste em dois ramos que se abrem horizontalmente, aproximando-se das assíntotas.

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Esboce os gráficos e determine os elementos principais das cônicas abaixo.
(g)
Determine de modo que e sejam ortogonais, onde:
b) .
Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência:
a) não intersecte os eixos coordenados;
Esboce os gráficos e determine os elementos principais das cônicas abaixo.
(f)