Determine o ângulo agudo entre os planos 2 x-y+3 z=0 e x+y-8 z=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Geometria Espacial. A gente precisa encontrar o ângulo agudo entre dois planos dados pelas equações e . Para isso, vamos usar vetores normais aos planos e uma fórmula que relaciona esses vetores com o ângulo entre os planos.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal é um vetor que é perpendicular a todo o plano. Para um plano na forma , o vetor normal é .

Passo 3

Vamos extrair os vetores normais das duas equações:
  • Para o primeiro plano , o vetor normal é .
  • Para o segundo plano , o vetor normal é .

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores para encontrar o ângulo entre os planos:
cos(theta) = n1 cdot n2|n1| |n2|
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores normais.
  • e são as magnitudes (tamanhos) dos vetores normais.

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. Produto escalar:
n1 cdot n2 = (2)(1) + (-1)(1) + (3)(-8) = 2 - 1 - 24 = -23
  1. Magnitudes:
|n1| = raiz2^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14
|n2| = raiz1^2 + 1^2 + (-8)^2 = raiz1 + 1 + 64 = raiz66

Passo 6

Substituindo na fórmula:
cos(theta) = -23raiz14 times raiz66 = -23raiz924 approx -2330.4 approx -0.757
Como queremos o ângulo agudo, vamos considerar o valor positivo:
cos(theta) = 0.757
Agora, usando a função arco cosseno:
theta = arccos(0.757) approx 40^circ

Resposta

O ângulo agudo entre os planos é aproximadamente .

Exercícios relacionados