Determine o ângulo agudo entre os planos e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Geometria Espacial. A gente precisa encontrar o ângulo agudo entre dois planos dados pelas equações e . Para isso, vamos usar vetores normais aos planos e uma fórmula que relaciona esses vetores com o ângulo entre os planos.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal é um vetor que é perpendicular a todo o plano. Para um plano na forma , o vetor normal é .

Passo 3

Vamos extrair os vetores normais das duas equações:
  • Para o primeiro plano , o vetor normal é .
  • Para o segundo plano , o vetor normal é .

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores para encontrar o ângulo entre os planos:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores normais.
  • e são as magnitudes (tamanhos) dos vetores normais.

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. Produto escalar:
  1. Magnitudes:

Passo 6

Substituindo na fórmula:
Como queremos o ângulo agudo, vamos considerar o valor positivo:
Agora, usando a função arco cosseno:

Resposta

O ângulo agudo entre os planos é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Determine os valores de e para que o plano seja:
a) Paralelo ao plano
b) O mesmo plano
Determine o ponto simétrico a com relação ao plano .
Seja uma base do . Sejam definidas por , e . Determine e .
Determine a matriz mudança da base para a base para o caso abaixo, isto é, determine ,
, em que e . Verifique que .