Determine o ângulo agudo entre os planos
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Geometria Espacial. A gente precisa encontrar o ângulo agudo entre dois planos dados pelas equações
e
. Para isso, vamos usar vetores normais aos planos e uma fórmula que relaciona esses vetores com o ângulo entre os planos.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal é um vetor que é perpendicular a todo o plano. Para um plano na forma
, o vetor normal é
.
Passo 3
Vamos extrair os vetores normais das duas equações:
- Para o primeiro plano
, o vetor normal é . - Para o segundo plano
, o vetor normal é .
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores para encontrar o ângulo entre os planos:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores normais. -
e são as magnitudes (tamanhos) dos vetores normais.
Passo 5
Vamos calcular cada parte:
- Produto escalar:
- Magnitudes:
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Como queremos o ângulo agudo, vamos considerar o valor positivo:
Agora, usando a função arco cosseno:
Resposta
O ângulo agudo entre os planos é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Determine os valores de
e
para que o plano
seja:
a) Paralelo ao plano
b) O mesmo plano
a) Paralelo ao plano
b) O mesmo plano
Determine o ponto simétrico a
com relação ao plano
.
Seja
uma base do
. Sejam
definidas por
,
e
. Determine
e
.
Determine a matriz mudança da base
para a base
para o caso abaixo, isto é, determine
,
, em que
e
. Verifique que
.