Determine o ponto simétrico a P=(1,-2,0) com relação ao plano pi: 4 x-4 y-2 z=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto simétrico do ponto em relação ao plano . Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, mais especificamente sobre simetrias em relação a planos. Para resolver, vamos usar a fórmula que determina o ponto simétrico em relação a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes do plano A = 4, B = -4, C = -2, D = -3 . A equação do plano está na forma geral . Então, temos:

Passo 3

A fórmula para encontrar o ponto simétrico x' = x - 2A(Ax + By + Cz + D)A^2 + B^2 + C^2 de um ponto y' = y - 2B(Ax + By + Cz + D)A^2 + B^2 + C^2 em relação a um plano z' = z - 2C(Ax + By + Cz + D)A^2 + B^2 + C^2 é:
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, calculamos o valor de 4(1) + (-4)(-2) + (-2)(0) - 3 = 4 + 8 + 0 - 3 = 9 para o ponto :

Passo 5

Agora, calculamos 4^2 + (-4)^2 + (-2)^2 = 16 + 16 + 4 = 36 :

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula para cada coordenada:
x' = 1 - 2 times 4 times 936 = 1 - 7236 = 1 - 2 = -1
y' = -2 - 2 times (-4) times 936 = -2 - -7236 = -2 + 2 = 0
z' = 0 - 2 times (-2) times 936 = 0 - -3636 = 0 + 1 = 1

Resposta

O ponto simétrico a em relação ao plano é .

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