Determine os valores de
e
para que o plano
seja:
a) Paralelo ao plano
b) O mesmo plano
a) Paralelo ao plano
b) O mesmo plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de planos no espaço. A gente precisa encontrar os valores de
,
e
para que o plano
seja:
a) Paralelo ao plano
b) O mesmo plano
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, mais especificamente sobre planos paralelos e coincidentes.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a, onde o plano
precisa ser paralelo ao plano
.
Dois planos são paralelos se eles têm a mesma normal. A normal de um plano
é o vetor
.
Então, a normal do primeiro plano é
e a normal do segundo plano é
.
Para serem paralelos, essas normais precisam ser proporcionales, ou seja, existe um número
tal que:
Passo 3
Vamos resolver para
usando a terceira equação:
Agora, substituímos
nas outras equações:
O valor de
pode ser qualquer número real, já que planos paralelos podem ter diferentes posições no espaço.
Passo 4
Agora, vamos para a parte b, onde o plano
precisa ser exatamente o mesmo que
.
Para isso, os coeficientes dos planos precisam ser iguais. Então:
Percebemos que há um problema:
não é igual a
, o que significa que não existe um plano da forma
que seja exatamente o mesmo que
.
Resposta
a)
,
e
pode ser qualquer número real.
b) Não existe valores de
,
e
que façam o plano
ser exatamente o mesmo que
.
Exercícios relacionados
Determine o ponto simétrico a
com relação ao plano
.
Sendo
e
, calcule
e
de modo que
e
determinem um paralelogramo de área
e que faça ângulos agudos iguais com os eixos Ox e Oz.
Determine o ângulo agudo entre os planos
e
Seja
uma base do
. Sejam
definidas por
,
e
. Determine
e
.