Determine os valores de e para que o plano seja:
a) Paralelo ao plano
b) O mesmo plano

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de planos no espaço. A gente precisa encontrar os valores de , e para que o plano seja:
a) Paralelo ao plano
b) O mesmo plano
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, mais especificamente sobre planos paralelos e coincidentes.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a, onde o plano precisa ser paralelo ao plano .
Dois planos são paralelos se eles têm a mesma normal. A normal de um plano é o vetor .
Então, a normal do primeiro plano é e a normal do segundo plano é .
Para serem paralelos, essas normais precisam ser proporcionales, ou seja, existe um número tal que:

Passo 3

Vamos resolver para usando a terceira equação:
Agora, substituímos nas outras equações:
O valor de pode ser qualquer número real, já que planos paralelos podem ter diferentes posições no espaço.

Passo 4

Agora, vamos para a parte b, onde o plano precisa ser exatamente o mesmo que .
Para isso, os coeficientes dos planos precisam ser iguais. Então:
ãéí
Percebemos que há um problema: não é igual a , o que significa que não existe um plano da forma que seja exatamente o mesmo que .

Resposta

a) , e pode ser qualquer número real.
b) Não existe valores de , e que façam o plano ser exatamente o mesmo que .

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Determine o ponto simétrico a com relação ao plano .
Sendo e , calcule e de modo que e determinem um paralelogramo de área e que faça ângulos agudos iguais com os eixos Ox e Oz.
Determine o ângulo agudo entre os planos e
Seja uma base do . Sejam definidas por , e . Determine e .