Determine os valores de m, n e k para que o plano m x+n y+3 z=k seja:
a) Paralelo ao plano 2 x+y-5 z-4=0
b) O mesmo plano 2 x+y-5 z-4=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de planos no espaço. A gente precisa encontrar os valores de , e para que o plano seja:
a) Paralelo ao plano
b) O mesmo plano
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, mais especificamente sobre planos paralelos e coincidentes.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a, onde o plano m = lambda cdot 2 precisa ser paralelo ao plano n = lambda cdot 1 .
Dois planos são paralelos se eles têm a mesma normal. A normal de um plano 3 = lambda cdot (-5) é o vetor .
Então, a normal do primeiro plano é e a normal do segundo plano é .
Para serem paralelos, essas normais precisam ser proporcionales, ou seja, existe um número tal que:

Passo 3

Vamos resolver para 3 = lambda cdot (-5) implies lambda = -35 usando a terceira equação:
m = -35 cdot 2 = -65
Agora, substituímos n = -35 cdot 1 = -35 nas outras equações:
O valor de pode ser qualquer número real, já que planos paralelos podem ter diferentes posições no espaço.

Passo 4

Agora, vamos para a parte b, onde o plano m = 2 precisa ser exatamente o mesmo que n = 1 .
Para isso, os coeficientes dos planos precisam ser iguais. Então:
3 = -5 (Isso não é possível)
k = -4
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Percebemos que há um problema: não é igual a , o que significa que não existe um plano da forma que seja exatamente o mesmo que .

Resposta

a) , e pode ser qualquer número real.
b) Não existe valores de , e que façam o plano ser exatamente o mesmo que .

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