Seja
uma base do
. Sejam
definidas por
,
e
. Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma base
do espaço
e duas transformações lineares
e
definidas por como elas agem nos vetores da base. O que precisamos fazer é encontrar as matrizes representativas dessas transformações em relação à base
, ou seja,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de uma transformação linear em relação a uma base, a gente precisa ver como a transformação age nos vetores da base e organizar esses resultados como colunas da matriz. Então, para
, vamos ver o que
faz com
e
.
Passo 3
Vamos começar com
. Isso significa que quando aplicamos
no vetor
, ele vira
. A coordenada desse resultado na base
é simplesmente os coeficientes de
e
, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos para
. Aqui, aplicando
em
, obtemos
. As coordenadas desse vetor na base
são
.
Passo 5
Com essas coordenadas, podemos montar a matriz
. Cada coluna da matriz é formada pelas coordenadas de
e
respectivamente. Então, fica assim:
Passo 6
Vamos repetir o mesmo processo para a transformação
. Primeiro, temos
. As coordenadas desse vetor na base
são
.
Passo 7
Em seguida,
. As coordenadas aqui são
.
Passo 8
Montamos a matriz
usando essas coordenadas como colunas:
Resposta
A matriz representativa das transformações são:
Exercícios relacionados
Determine o ângulo agudo entre os planos
e
Determine os valores de
e
para que o plano
seja:
a) Paralelo ao plano
b) O mesmo plano
a) Paralelo ao plano
b) O mesmo plano
Determine a matriz mudança da base
para a base
para o caso abaixo, isto é, determine
,
, em que
e
. Verifique que
.
[Questão prova] Seja
a transformação linear definida por
(i) Calcule
, onde
é base do
e
é base do
.
(ii) Calcule , onde
é como no item (i) acima e
é a base canônica do
.
(ii) Calcule