Seja uma base do . Sejam definidas por , e . Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma base do espaço e duas transformações lineares e definidas por como elas agem nos vetores da base. O que precisamos fazer é encontrar as matrizes representativas dessas transformações em relação à base , ou seja, e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de uma transformação linear em relação a uma base, a gente precisa ver como a transformação age nos vetores da base e organizar esses resultados como colunas da matriz. Então, para , vamos ver o que faz com e .

Passo 3

Vamos começar com . Isso significa que quando aplicamos no vetor , ele vira . A coordenada desse resultado na base é simplesmente os coeficientes de e , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos para . Aqui, aplicando em , obtemos . As coordenadas desse vetor na base são .

Passo 5

Com essas coordenadas, podemos montar a matriz . Cada coluna da matriz é formada pelas coordenadas de e respectivamente. Então, fica assim:

Passo 6

Vamos repetir o mesmo processo para a transformação . Primeiro, temos . As coordenadas desse vetor na base são .

Passo 7

Em seguida, . As coordenadas aqui são .

Passo 8

Montamos a matriz usando essas coordenadas como colunas:

Resposta

A matriz representativa das transformações são:

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Determine o ângulo agudo entre os planos e
Determine os valores de e para que o plano seja:
a) Paralelo ao plano
b) O mesmo plano
Determine a matriz mudança da base para a base para o caso abaixo, isto é, determine ,
, em que e . Verifique que .
[Questão prova] Seja a transformação linear definida por
(i) Calcule , onde é base do e é base do .
(ii) Calcule , onde é como no item (i) acima e é a base canônica do .