Seja B=e1, e2 uma base do R^2. Sejam F, G: R^2 R^2 definidas por F(e1)=2 e1-3 e2, F(e2)=e1+e2, G(e1)=3 e1+2 e2 e G(e2)=e1-e2. Determine [F]B e [G]B.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma base do espaço e duas transformações lineares e definidas por como elas agem nos vetores da base. O que precisamos fazer é encontrar as matrizes representativas dessas transformações em relação à base , ou seja, e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de uma transformação linear em relação a uma base, a gente precisa ver como a transformação age nos vetores da base e organizar esses resultados como colunas da matriz. Então, para , vamos ver o que faz com e .

Passo 3

Vamos começar com . Isso significa que quando aplicamos no vetor , ele vira . A coordenada desse resultado na base é simplesmente os coeficientes de e , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos para . Aqui, aplicando em , obtemos . As coordenadas desse vetor na base são .

Passo 5

Com essas coordenadas, podemos montar a matriz [F]B = 2 & 1 -3 & 1 . Cada coluna da matriz é formada pelas coordenadas de e respectivamente. Então, fica assim:

Passo 6

Vamos repetir o mesmo processo para a transformação . Primeiro, temos . As coordenadas desse vetor na base são .

Passo 7

Em seguida, . As coordenadas aqui são .

Passo 8

Montamos a matriz [G]B = 3 & 1 2 & -1 usando essas coordenadas como colunas:

Resposta

A matriz representativa das transformações são:
[F]B = 2 & 1 -3 & 1 e [G]B = 3 & 1 2 & -1

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