Determine o ângulo entre os planos
pi1: 2 x-2 y=-1 e pi2: 2 x-y-z=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois planos no espaço tridimensional:
pi1: 2x - 2y = -1 e pi2: 2x - y - z = 0
O conteúdo que precisamos usar aqui é sobre ângulo entre planos. Para encontrar esse ângulo, vamos precisar das normais dos planos, que são vetores perpendiculares a cada plano.

Passo 2

Vamos encontrar as normais dos planos. A equação geral de um plano é:
Ax + By + Cz + D = 0,
onde o vetor 2x - 2y + 0z + 1 = 0 é a normal do plano.
Para n1 = (2, -2, 0) , podemos reescrever como:
Assim, a normal de é:

Passo 3

Agora, vamos para n2 = (2, -1, -1) . Aqui, já está na forma geral, então a normal de é:

Passo 4

Com as normais dos planos, podemos usar a fórmula do ângulo costheta = n1 cdot n2|n1| , |n2|, entre dois vetores:
onde é o produto escalar e , são os módulos dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar n1 cdot n2 = (2)(2) + (-2)(-1) + (0)(-1) = 4 + 2 + 0 = 6 :

Passo 6

Agora, calculamos os módulos dos vetores:
|n1| = raiz2^2 + (-2)^2 + 0^2 = raiz4 + 4 + 0 = raiz8 = 2raiz2,
|n2| = raiz2^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6

Passo 7

Substituindo na fórmula do cosseno:
costheta = 62raiz2 cdot raiz6 = 62raiz12 = 62 cdot 2raiz3 = 64raiz3 = 32raiz3
Para simplificar, racionalizamos o denominador:
32raiz3 = 3raiz32 cdot 3 = raiz32

Passo 8

Agora, para encontrar o ângulo theta = arccos(raiz32) , usamos a função arco cosseno:
Sabemos que .

Resposta

O ângulo entre os planos e é de .

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