Determine o ângulo entre os planos

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois planos no espaço tridimensional:
O conteúdo que precisamos usar aqui é sobre ângulo entre planos. Para encontrar esse ângulo, vamos precisar das normais dos planos, que são vetores perpendiculares a cada plano.

Passo 2

Vamos encontrar as normais dos planos. A equação geral de um plano é:
onde o vetor é a normal do plano.
Para , podemos reescrever como:
Assim, a normal de é:

Passo 3

Agora, vamos para . Aqui, já está na forma geral, então a normal de é:

Passo 4

Com as normais dos planos, podemos usar a fórmula do ângulo entre dois vetores:
onde é o produto escalar e , são os módulos dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, calculamos os módulos dos vetores:

Passo 7

Substituindo na fórmula do cosseno:
Para simplificar, racionalizamos o denominador:

Passo 8

Agora, para encontrar o ângulo , usamos a função arco cosseno:
Sabemos que .

Resposta

O ângulo entre os planos e é de .

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Questão 1. Em cada item, escreva a equação da circunferência que possui:
b) Diâmetro de extremos e
Verifique se são unitários os seguintes vetores:
Questão 2. Reduza a equação dada à forma padrão e determine se ela representa ou não uma circunferência. Se representar, informe seu centro e seu raio.
a)