Determine o ângulo entre os planos
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois planos no espaço tridimensional:
O conteúdo que precisamos usar aqui é sobre ângulo entre planos. Para encontrar esse ângulo, vamos precisar das normais dos planos, que são vetores perpendiculares a cada plano.
Passo 2
Vamos encontrar as normais dos planos. A equação geral de um plano é:
onde o vetor
é a normal do plano.
Para
, podemos reescrever como:
Assim, a normal de
é:
Passo 3
Agora, vamos para
. Aqui, já está na forma geral, então a normal de
é:
Passo 4
Com as normais dos planos, podemos usar a fórmula do ângulo
entre dois vetores:
onde
é o produto escalar e
,
são os módulos dos vetores.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, calculamos os módulos dos vetores:
Passo 7
Substituindo na fórmula do cosseno:
Para simplificar, racionalizamos o denominador:
Passo 8
Agora, para encontrar o ângulo
, usamos a função arco cosseno:
Sabemos que
.
Resposta
O ângulo entre os planos
e
é de
.
Exercícios relacionados
Questão 1. Em cada item, escreva a equação da circunferência que possui:
b) Diâmetro de extremos e
b) Diâmetro de extremos
Verifique se são unitários os seguintes vetores:
Questão 2. Reduza a equação dada à forma padrão e determine se ela representa ou não uma circunferência. Se representar, informe seu centro e seu raio.
a)
a)