Reduzir a equação dada à forma normal, determinar o comprimento e os ângulos directores da normal, em cada uma das seguintes alíneas: b)
Passo 1
Beleza! Temos que reduzir a equação do plano
à forma normal. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a forma normal de uma equação de plano, calcular o comprimento do vetor normal e encontrar os ângulos diretores desse vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a forma normal de uma equação de plano. A forma normal é uma maneira de escrever a equação do plano onde os coeficientes de
,
e
são divididos pelo comprimento do vetor normal. Isso deixa a equação mais “limpa” e facilita encontrar informações importantes como a direção do plano.
Passo 3
O vetor normal de um plano é um vetor perpendicular ao plano. Na nossa equação
, os coeficientes de
,
e
formam o vetor normal:
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o comprimento desse vetor normal. O comprimento de um vetor
é dado pela fórmula:
Aplicando os valores:
Então, o comprimento do vetor normal é 13.
Passo 5
Com o comprimento do vetor normal, podemos escrever a forma normal da equação do plano dividindo cada coeficiente pelo comprimento:
Essa é a equação do plano na forma normal.
Passo 6
Agora, vamos determinar os ângulos diretores da normal. Esses ângulos são os ângulos que o vetor normal faz com cada um dos eixos coordenados
,
e
. Para encontrar esses ângulos, usamos o cosseno de cada ângulo, que é dado por:
Onde
,
e
são os ângulos com os eixos
,
e
respectivamente.
Passo 7
Vamos calcular cada um desses cossenos:
Agora, para encontrar os ângulos, usamos a função arccos:
Resposta
A forma normal da equação do plano é
. O comprimento do vetor normal é 13, e os ângulos diretores da normal são: