Reduzir a equação dada à forma normal, determinar o comprimento e os ângulos directores da normal, em cada uma das seguintes alíneas: b) 3 x+4 y-12 z=0

Passo 1

Beleza! Temos que reduzir a equação do plano à forma normal. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a forma normal de uma equação de plano, calcular o comprimento do vetor normal e encontrar os ângulos diretores desse vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a forma normal de uma equação de plano. A forma normal é uma maneira de escrever a equação do plano onde os coeficientes de , e são divididos pelo comprimento do vetor normal. Isso deixa a equação mais “limpa” e facilita encontrar informações importantes como a direção do plano.

Passo 3

O vetor normal de um plano é um vetor perpendicular ao plano. Na nossa equação , os coeficientes de , e formam o vetor normal: .

Passo 4

Agora, vamos calcular o comprimento desse vetor normal. O comprimento de um vetor |n| = raizA^2 + B^2 + C^2 é dado pela fórmula:
|n| = raiz3^2 + 4^2 + (-12)^2 = raiz9 + 16 + 144 = raiz169 = 13
Aplicando os valores:
Então, o comprimento do vetor normal é 13.

Passo 5

Com o comprimento do vetor normal, podemos escrever a forma normal da equação do plano dividindo cada coeficiente pelo comprimento:
313x + 413y - 1213z = 0
Essa é a equação do plano na forma normal.

Passo 6

Agora, vamos determinar os ângulos diretores da normal. Esses ângulos são os ângulos que o vetor normal faz com cada um dos eixos coordenados cos alpha = A|n|, cos beta = B|n|, cos gamma = C|n| , e . Para encontrar esses ângulos, usamos o cosseno de cada ângulo, que é dado por:
Onde , e são os ângulos com os eixos , e respectivamente.

Passo 7

Vamos calcular cada um desses cossenos:
cos alpha = 313
cos beta = 413
cos gamma = -1213
Agora, para encontrar os ângulos, usamos a função arccos:
alpha = arccos(313)
beta = arccos(413)
gamma = arccos(-1213)

Resposta

A forma normal da equação do plano é alpha = arccos(313), beta = arccos(413), gamma = arccos(-1213) . O comprimento do vetor normal é 13, e os ângulos diretores da normal são:

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