Reduzir a equação dada à forma normal, determinar o comprimento e os ângulos directores da normal, em cada uma das seguintes alíneas: b)

Passo 1

Beleza! Temos que reduzir a equação do plano à forma normal. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a forma normal de uma equação de plano, calcular o comprimento do vetor normal e encontrar os ângulos diretores desse vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a forma normal de uma equação de plano. A forma normal é uma maneira de escrever a equação do plano onde os coeficientes de , e são divididos pelo comprimento do vetor normal. Isso deixa a equação mais “limpa” e facilita encontrar informações importantes como a direção do plano.

Passo 3

O vetor normal de um plano é um vetor perpendicular ao plano. Na nossa equação , os coeficientes de , e formam o vetor normal: .

Passo 4

Agora, vamos calcular o comprimento desse vetor normal. O comprimento de um vetor é dado pela fórmula:
Aplicando os valores:
Então, o comprimento do vetor normal é 13.

Passo 5

Com o comprimento do vetor normal, podemos escrever a forma normal da equação do plano dividindo cada coeficiente pelo comprimento:
Essa é a equação do plano na forma normal.

Passo 6

Agora, vamos determinar os ângulos diretores da normal. Esses ângulos são os ângulos que o vetor normal faz com cada um dos eixos coordenados , e . Para encontrar esses ângulos, usamos o cosseno de cada ângulo, que é dado por:
Onde , e são os ângulos com os eixos , e respectivamente.

Passo 7

Vamos calcular cada um desses cossenos:
Agora, para encontrar os ângulos, usamos a função arccos:

Resposta

A forma normal da equação do plano é . O comprimento do vetor normal é 13, e os ângulos diretores da normal são:

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