Determine o valor de n para que seja de 30^circ o ângulo entre as retas
r: x-24=y5=z3 e s:lx=t y=n t+5 ; t in R z=2 t-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de de forma que o ângulo entre as duas retas e seja de . Aqui estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com o conceito de ângulo entre retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar dos vetores diretores das duas retas e usar a fórmula do cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas x - 24 = y5 = z3 e dr = 4 5 3 . A reta x = t y = nt + 5 z = 2t - 2 está na forma simétrica:
ds = 1 n 2
O vetor diretor dessa reta é dado pelos coeficientes das denominadores, então:
Para a reta , ela está parametrizada por:
O vetor diretor aqui é dado pelos coeficientes de , então:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo costheta = dr cdot ds|dr| cdot |ds| entre duas retas, que é dada por:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores diretores.
  • e são as magnitudes (ou normas) dos vetores diretores.

Passo 4

Sabemos que o ângulo dr cdot ds = 4 cdot 1 + 5 cdot n + 3 cdot 2 = 4 + 5n + 6 = 5n + 10 é de |dr| = raiz4^2 + 5^2 + 3^2 = raiz16 + 25 + 9 = raiz50 , então |ds| = raiz1^2 + n^2 + 2^2 = raiz1 + n^2 + 4 = raizn^2 + 5 .
Vamos calcular o produto escalar raiz32 = 5n + 10raiz50 cdot raizn^2 + 5 :
Agora, vamos calcular as normas dos vetores:
Substituindo na fórmula do cosseno:

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar 5n + 10raiz50 cdot raizn^2 + 5 = raiz32 .
Primeiro, simplificamos:
5n + 10 = raiz32 cdot raiz50 cdot raizn^2 + 5
Multiplicando ambos os lados por 5n + 10 = raiz32 cdot 5raiz2 cdot raizn^2 + 5 :
5n + 10 = 5raiz62 cdot raizn^2 + 5
Simplificando n + 2 = raiz62 cdot raizn^2 + 5 :
2n + 4 = raiz6 cdot raizn^2 + 5
(2n + 4)^2 = 6(n^2 + 5)
Dividindo ambos os lados por 5:
4n^2 + 16n + 16 = 6n^2 + 30
Multiplicando ambos os lados por 2:
4n^2 + 16n + 16 - 6n^2 - 30 = 0
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
-2n^2 + 16n - 14 = 0
Expandindo o lado esquerdo:
2n^2 - 16n + 14 = 0
Organizando a equação:
n^2 - 8n + 7 = 0
n = 8 pm raiz64 - 282 = 8 pm raiz362 = 8 pm 62
Multiplicando por -1 para facilitar:
n = 8 + 62 = 7 ou n = 8 - 62 = 1
Dividindo toda a equação por 2:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, temos duas soluções:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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