Determine o valor de para que seja de o ângulo entre as retas e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de de forma que o ângulo entre as duas retas e seja de . Aqui estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com o conceito de ângulo entre retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar dos vetores diretores das duas retas e usar a fórmula do cosseno do ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas x - 24 = y5 = z3 e dr = 4 5 3 . A reta x = t y = nt + 5 z = 2t - 2 está na forma simétrica:
ds = 1 n 2
O vetor diretor dessa reta é dado pelos coeficientes das denominadores, então:
Para a reta , ela está parametrizada por:
O vetor diretor aqui é dado pelos coeficientes de , então:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo costheta = dr cdot ds|dr| cdot |ds| entre duas retas, que é dada por:
Onde:
é o produto escalar dos vetores diretores.
e são as magnitudes (ou normas) dos vetores diretores.
Passo 4
Sabemos que o ângulo dr cdot ds = 4 cdot 1 + 5 cdot n + 3 cdot 2 = 4 + 5n + 6 = 5n + 10 é de |dr| = raiz4^2 + 5^2 + 3^2 = raiz16 + 25 + 9 = raiz50 , então |ds| = raiz1^2 + n^2 + 2^2 = raiz1 + n^2 + 4 = raizn^2 + 5 .