Determine o ângulo entre a reta e o plano em cada caso:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema onde a gente precisa encontrar o ângulo entre uma reta e um plano . A matéria aqui envolve geometria analítica, especificamente os conceitos de vetores direcionais e vetores normais. Para resolver isso, vamos precisar identificar o vetor direcional da reta e o vetor normal do plano, e depois usar a fórmula que relaciona esses vetores para encontrar o ângulo desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor direcional da reta x = 0, y = lambda, z = lambda . A reta está parametrizada pelas equações:
r = 0 lambda lambda = 0 0 0 + lambda 0 1 1
Aqui, o parâmetro é v = 0 1 1 . Podemos reescrever a reta em termos de vetores:
Então, o vetor direcional da reta é:
Passo 3
Agora, vamos determinar o vetor normal do plano pi: z = 0 . A equação do plano é:
0x + 0y + 1z = 0
Podemos reescrever essa equação na forma geral de um plano:
n = 0 0 1
Daí, o vetor normal ao plano é:
Passo 4
Para encontrar o ângulo entre a reta e o plano, usamos a relação entre o vetor direcional da reta sin theta = |v cdot n||v| e o vetor normal do plano .
A fórmula para o ângulo entre a reta e o plano é:
Onde é o produto escalar entre os vetores e é a magnitude do vetor direcional.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar v cdot n = 0 times 0 + 1 times 0 + 1 times 1 = 0 + 0 + 1 = 1 :
|v| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2
E a magnitude de :
Passo 6
Agora, substituímos os valores na fórmula:
sin theta = 1raiz2 implies theta = arcsin( 1raiz2 )