Determine o ângulo entre a reta e o plano em cada caso:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema onde a gente precisa encontrar o ângulo entre uma reta e um plano . A matéria aqui envolve geometria analítica, especificamente os conceitos de vetores direcionais e vetores normais. Para resolver isso, vamos precisar identificar o vetor direcional da reta e o vetor normal do plano, e depois usar a fórmula que relaciona esses vetores para encontrar o ângulo desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor direcional da reta . A reta está parametrizada pelas equações:
Aqui, o parâmetro é . Podemos reescrever a reta em termos de vetores:
Então, o vetor direcional da reta é:
Passo 3
Agora, vamos determinar o vetor normal do plano . A equação do plano é:
Podemos reescrever essa equação na forma geral de um plano:
Daí, o vetor normal ao plano é:
Passo 4
Para encontrar o ângulo entre a reta e o plano, usamos a relação entre o vetor direcional da reta e o vetor normal do plano .
A fórmula para o ângulo entre a reta e o plano é:
Onde é o produto escalar entre os vetores e é a magnitude do vetor direcional.