Determine o ângulo entre a reta e o plano em cada caso:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema onde a gente precisa encontrar o ângulo entre uma reta e um plano . A matéria aqui envolve geometria analítica, especificamente os conceitos de vetores direcionais e vetores normais. Para resolver isso, vamos precisar identificar o vetor direcional da reta e o vetor normal do plano, e depois usar a fórmula que relaciona esses vetores para encontrar o ângulo desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor direcional da reta . A reta está parametrizada pelas equações:
Aqui, o parâmetro é . Podemos reescrever a reta em termos de vetores:
Então, o vetor direcional da reta é:

Passo 3

Agora, vamos determinar o vetor normal do plano . A equação do plano é:
Podemos reescrever essa equação na forma geral de um plano:
Daí, o vetor normal ao plano é:

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre a reta e o plano, usamos a relação entre o vetor direcional da reta e o vetor normal do plano .
A fórmula para o ângulo entre a reta e o plano é:
Onde é o produto escalar entre os vetores e é a magnitude do vetor direcional.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :
E a magnitude de :

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula:
Calculando:

Resposta

O ângulo entre a reta e o plano é de .

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e .
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c).
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