Determine o ângulo entre a reta e o plano em cada caso: r:lx=0, y=lambda, lambda in R e pi: z=0 z=lambda

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema onde a gente precisa encontrar o ângulo entre uma reta e um plano . A matéria aqui envolve geometria analítica, especificamente os conceitos de vetores direcionais e vetores normais. Para resolver isso, vamos precisar identificar o vetor direcional da reta e o vetor normal do plano, e depois usar a fórmula que relaciona esses vetores para encontrar o ângulo desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor direcional da reta x = 0, y = lambda, z = lambda . A reta está parametrizada pelas equações:
r = 0 lambda lambda = 0 0 0 + lambda 0 1 1
Aqui, o parâmetro é v = 0 1 1 . Podemos reescrever a reta em termos de vetores:
Então, o vetor direcional da reta é:

Passo 3

Agora, vamos determinar o vetor normal do plano pi: z = 0 . A equação do plano é:
0x + 0y + 1z = 0
Podemos reescrever essa equação na forma geral de um plano:
n = 0 0 1
Daí, o vetor normal ao plano é:

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre a reta e o plano, usamos a relação entre o vetor direcional da reta sin theta = |v cdot n||v| e o vetor normal do plano .
A fórmula para o ângulo entre a reta e o plano é:
Onde é o produto escalar entre os vetores e é a magnitude do vetor direcional.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar v cdot n = 0 times 0 + 1 times 0 + 1 times 1 = 0 + 0 + 1 = 1 :
|v| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2
E a magnitude de :

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula:
sin theta = 1raiz2 implies theta = arcsin( 1raiz2 )
Calculando:
theta = 45^circ

Resposta

O ângulo entre a reta e o plano é de .

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