Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de :
e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades que definem um subespaço vetorial, que são:
  1. O conjunto não é vazio (contém o vetor zero).
  2. É fechado pela adição de vetores.
  3. É fechado pela multiplicação por um escalar.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Verificando se o conjunto não é vazio:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele pertence ao conjunto :
  • , que é verdadeiro.
  • , que também é verdadeiro.
Assim, o vetor zero está em , satisfazendo a primeira condição.

Passo 3

Verificando a clausura pela adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em :
,
,
onde:
  • e ,
  • e .
Vamos somar esses vetores:
.
Agora, vamos verificar se também pertence a :
  • Primeiro componente: ,
  • Terceiro componente: .
Isso mostra que satisfaz as condições de , ou seja, é fechado pela adição.

Passo 4

Verificando a clausura pela multiplicação escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em e um escalar .
Multiplicando por :
.
Vamos verificar se pertence a :
  • Primeiro componente: ,
  • Terceiro componente: .
Portanto, também satisfaz as condições de , ou seja, é fechado pela multiplicação escalar.

Resposta

O conjunto é um subespaço vetorial de .

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Seja uma transformação linear tal que , e . Faça o que se pede, justificando cada resposta. Determine , para qualquer .
Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de . .
Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de :
e .
Determine o ângulo entre a reta e o plano em cada caso: