Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de
:
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades que definem um subespaço vetorial, que são:
- O conjunto não é vazio (contém o vetor zero).
- É fechado pela adição de vetores.
- É fechado pela multiplicação por um escalar.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 2
Verificando se o conjunto não é vazio:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele pertence ao conjunto
:
-
, que é verdadeiro. -
, que também é verdadeiro.
Assim, o vetor zero está em
, satisfazendo a primeira condição.
Passo 3
Verificando a clausura pela adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
onde:
-
e , -
e .
Vamos somar esses vetores:
Agora, vamos verificar se
também pertence a
:
- Primeiro componente:
, - Terceiro componente:
.
Isso mostra que
satisfaz as condições de
, ou seja,
é fechado pela adição.
Passo 4
Verificando a clausura pela multiplicação escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer
em
e um escalar
.
Multiplicando
por
:
Vamos verificar se
pertence a
:
- Primeiro componente:
, - Terceiro componente:
.
Portanto,
também satisfaz as condições de
, ou seja,
é fechado pela multiplicação escalar.
Resposta
O conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Seja
uma transformação linear tal que
,
e
. Faça o que se pede, justificando cada resposta. Determine
, para qualquer
.
Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de
.
.
Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de
:
e
.
Determine o ângulo entre a reta e o plano em cada caso: