Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de : e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que um certo conjunto é um subespaço vetorial de . Isso envolve entender o que é um subespaço vetorial e quais condições precisamos verificar para confirmar isso. Vamos precisar dos conceitos de vetores, operações de adição e multiplicação por escalar, além das propriedades que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de é um conjunto de vetores que satisfaz três condições:
Contém o vetor nulo: O vetor onde todas as coordenadas são zero precisa estar no conjunto.
Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .
Passo 3
1. Verificando se o vetor nulo está em :
O vetor nulo em é .
Vamos ver se ele satisfaz as condições definidas para :
, e , então está ok.
, que também está satisfeito.
Portanto, o vetor nulo pertence a .
Passo 4
2. Verificando se é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer e em .
Como e estão em , eles satisfazem:
e .
e .
Vamos somar e : .
Agora, verificamos se também está em :
.
.
Portanto, satisfaz as condições de , ou seja, está em .
Passo 5
3. Verificando se é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor em e um escalar .
Como está em , temos:
.
.
Multiplicando por : .
Agora, verificamos se está em :
.
.
Assim, também satisfaz as condições de , ou seja, está em .
Resposta
Portanto, o conjunto satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial de .