Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de :
e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que um certo conjunto é um subespaço vetorial de . Isso envolve entender o que é um subespaço vetorial e quais condições precisamos verificar para confirmar isso. Vamos precisar dos conceitos de vetores, operações de adição e multiplicação por escalar, além das propriedades que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de é um conjunto de vetores que satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor nulo: O vetor onde todas as coordenadas são zero precisa estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se o vetor nulo está em :
O vetor nulo em é .
Vamos ver se ele satisfaz as condições definidas para :
  • , e , então está ok.
  • , que também está satisfeito.
Portanto, o vetor nulo pertence a .

Passo 4

2. Verificando se é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer e em .
Como e estão em , eles satisfazem:
  • e .
  • e .
Vamos somar e :
.
Agora, verificamos se também está em :
  • .
  • .
Portanto, satisfaz as condições de , ou seja, está em .

Passo 5

3. Verificando se é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor em e um escalar .
Como está em , temos:
  • .
  • .
Multiplicando por :
.
Agora, verificamos se está em :
  • .
  • .
Assim, também satisfaz as condições de , ou seja, está em .

Resposta

Portanto, o conjunto satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de :
e .
Seja uma transformação linear tal que , e . Faça o que se pede, justificando cada resposta. Determine , para qualquer .
Determine o ângulo entre a reta e o plano em cada caso:
Encontre a matriz aumentada de cada um dos sistemas lineares abaixo.
c).