Mostre que os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de
:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que um certo conjunto
é um subespaço vetorial de
. Isso envolve entender o que é um subespaço vetorial e quais condições precisamos verificar para confirmar isso. Vamos precisar dos conceitos de vetores, operações de adição e multiplicação por escalar, além das propriedades que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de
é um conjunto de vetores que satisfaz três condições:
- Contém o vetor nulo: O vetor onde todas as coordenadas são zero precisa estar no conjunto.
- Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se o vetor nulo está em
:
O vetor nulo em
é
.
Vamos ver se ele satisfaz as condições definidas para
:
-
, e , então está ok. -
, que também está satisfeito.
Portanto, o vetor nulo pertence a
.
Passo 4
2. Verificando se
é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer
e
em
.
Como
e
estão em
, eles satisfazem:
-
e . -
e .
Vamos somar
e
:
.
Agora, verificamos se
também está em
:
-
. -
.
Portanto,
satisfaz as condições de
, ou seja, está em
.
Passo 5
3. Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor
em
e um escalar
.
Como
está em
, temos:
-
. -
.
Multiplicando
por
:
.
Agora, verificamos se
está em
:
-
. -
.
Assim,
também satisfaz as condições de
, ou seja, está em
.
Resposta
Portanto, o conjunto
satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial de
.