Seja o plano pi: 2 x-y+3 z+1=0. Calcular:
a) O ponto de pi que tem abscissa 4 e ordenada 3 ;
b) O ponto de pi que tem abscissa 1 e cota 2 ;
c) O valor de k para que o ponto P=(2, k+1, k) pertence a pi;
d) O ponto de abscissa zero e cuja ordenada é o dobro da cota.

Passo 1

Então, temos o plano pi definido pela equação 2x - y + 3z + 1 = 0. A gente precisa encontrar alguns pontos específicos nesse plano com base em informações dadas, como certas coordenadas fixas. Para resolver isso, vamos usar a substituição das coordenadas conhecidas na equação do plano para encontrar as coordenadas faltantes.

Passo 2

a) Encontrar o ponto de pi com abscissa 4 e ordenada 3.
Aqui, sabemos que x = 4 e y = 3. Vamos substituir esses valores na equação do plano para encontrar z.
A equação do plano é:
2x - y + 3z + 1 = 0
Substituindo x = 4 e y = 3:
2(4) - 3 + 3z + 1 = 0
8 - 3 + 3z + 1 = 0
6 + 3z = 0
3z = -6
z = -2

Passo 3

b) Encontrar o ponto de pi com abscissa 1 e cota 2.
Aqui, sabemos que x = 1 e z = 2. Vamos substituir esses valores na equação do plano para encontrar y.
Substituindo x = 1 e z = 2 na equação do plano:
2(1) - y + 3(2) + 1 = 0
2 - y + 6 + 1 = 0
9 - y = 0
y = 9

Passo 4

c) Determinar o valor de k para que o ponto P = (2, k+1, k) pertença a pi.
Para que o ponto P pertença ao plano pi, suas coordenadas devem satisfazer a equação do plano. Vamos substituir x = 2, y = k + 1 e z = k na equação do plano e resolver para k.
Substituindo na equação do plano:
2(2) - (k + 1) + 3(k) + 1 = 0
4 - k - 1 + 3k + 1 = 0
4 + 2k = 0
2k = -4
k = -2

Passo 5

d) Encontrar o ponto com abscissa zero e cuja ordenada é o dobro da cota.
Aqui, sabemos que x = 0 e que y = 2z. Vamos substituir esses valores na equação do plano para encontrar z.
Substituindo x = 0 e y = 2z na equação do plano:
2(0) - 2z + 3z + 1 = 0
-2z + 3z + 1 = 0
z + 1 = 0
z = -1
Então, y = 2z = 2(-1) = -2.

Resposta

a) O ponto é (4, 3, -2);
b) O ponto é (1, 9, 2);
c) O valor de k é -2;
d) O ponto é (0, -2, -1).

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