Escreva a equação geral do plano que passa pelos pontos e .
a) Verifique se o ponto está nesse plano.
b) Verifique se a reta que passa pelo ponto com vetor diretor está contida nesse plano.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos: , e . Para isso, vamos usar geometria analítica, mais especificamente, conceitos de vetores e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar achar o vetor normal ao plano e usar a equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos:
  • Vetor =
  • Vetor =
Agora, para achar o vetor normal ao plano, a gente faz o produto vetorial desses dois vetores:
Então, o vetor normal é .

Passo 3

Com o vetor normal, podemos usar a equação geral do plano:
Onde são as componentes do vetor normal. Substituindo:
Agora, vamos usar um dos pontos para encontrar . Vamos usar o ponto :
Então, a equação do plano é:

Passo 4

a) Agora, vamos verificar se o ponto está nesse plano. Basta substituir as coordenadas de na equação do plano:
Como a igualdade é verdadeira, o ponto está no plano.
b) Para verificar se a reta que passa pelo ponto com vetor diretor está contida no plano, vamos considerar a equação paramétrica da reta:
Substituindo na equação do plano , vemos que sempre satisfaz a igualdade, independentemente do valor de . Isso significa que todos os pontos da reta estão no plano.

Resposta

a) O ponto está no plano .
b) A reta que passa por com vetor diretor está contida no plano .

Exercícios relacionados

Sejam e . Diga se as operações abaixo podem ser efetuadas. Em seguida calcule.
(h)
Sejam e . Diga se as operações abaixo podem ser efetuadas. Em seguida calcule.
(f)
Seja o plano . Calcular:
a) O ponto de que tem abscissa 4 e ordenada 3 ;
b) O ponto de que tem abscissa 1 e cota 2 ;
c) O valor de para que o ponto pertence a ;
d) O ponto de abscissa zero e cuja ordenada é o dobro da cota.
Determine o ângulo entre a reta e o plano em cada caso:
a)
b) e .