Escreva a equação geral do plano que passa pelos pontos e .
a) Verifique se o ponto está nesse plano.
b) Verifique se a reta que passa pelo ponto com vetor diretor está contida nesse plano.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos: , e . Para isso, vamos usar geometria analítica, mais especificamente, conceitos de vetores e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar achar o vetor normal ao plano e usar a equação geral do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos:
Vetor =
Vetor =
Agora, para achar o vetor normal ao plano, a gente faz o produto vetorial desses dois vetores:
Então, o vetor normal é .
Passo 3
Com o vetor normal, podemos usar a equação geral do plano:
Onde são as componentes do vetor normal. Substituindo:
Agora, vamos usar um dos pontos para encontrar . Vamos usar o ponto :
Então, a equação do plano é:
Passo 4
a) Agora, vamos verificar se o ponto está nesse plano. Basta substituir as coordenadas de na equação do plano:
Como a igualdade é verdadeira, o ponto está no plano.
b) Para verificar se a reta que passa pelo ponto com vetor diretor está contida no plano, vamos considerar a equação paramétrica da reta:
Substituindo na equação do plano , vemos que sempre satisfaz a igualdade, independentemente do valor de . Isso significa que todos os pontos da reta estão no plano.
Resposta
a) O ponto está no plano .
b) A reta que passa por com vetor diretor está contida no plano .