Escreva a equação geral do plano que passa pelos pontos A(2,1,0), B(1,2,0) e C(1,1,0).
a) Verifique se o ponto D(4,4,0) está nesse plano.
b) Verifique se a reta que passa pelo ponto E(3,3,0) com vetor diretor v=(1,1,0) está contida nesse plano.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos: , e . Para isso, vamos usar geometria analítica, mais especificamente, conceitos de vetores e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar achar o vetor normal ao plano e usar a equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos:
  • Vetor n = AB times AC = i & j & k -1 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 = (0i - 0j + 1k) = (0, 0, 1) =
  • Vetor =
Agora, para achar o vetor normal ao plano, a gente faz o produto vetorial desses dois vetores:
Então, o vetor normal é .

Passo 3

Com o vetor normal, podemos usar a equação geral do plano:
ax + by + cz + d = 0
Onde 0x + 0y + 1z + d = 0 Rightarrow z + d = 0 são as componentes do vetor normal. Substituindo:
0(2) + 0(1) + 1(0) + d = 0 Rightarrow d = 0
Agora, vamos usar um dos pontos para encontrar z = 0 . Vamos usar o ponto :
Então, a equação do plano é:

Passo 4

a) Agora, vamos verificar se o ponto z = 0 Rightarrow 0 = 0 está nesse plano. Basta substituir as coordenadas de x = 3 + t y = 3 + t z = 0 + 0t = 0 na equação do plano:
Como a igualdade é verdadeira, o ponto está no plano.
b) Para verificar se a reta que passa pelo ponto com vetor diretor está contida no plano, vamos considerar a equação paramétrica da reta:
Substituindo na equação do plano , vemos que sempre satisfaz a igualdade, independentemente do valor de . Isso significa que todos os pontos da reta estão no plano.

Resposta

a) O ponto está no plano .
b) A reta que passa por com vetor diretor está contida no plano .

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