Determine o ângulo que a reta r: x=-y=z forma com o plano alpha nos itens a seguir.
alpha: 2 x-y-z-1=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o ângulo que uma reta forma com um plano . Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente vetores diretores de retas e vetores normais de planos, além da fórmula para calcular o ângulo entre uma reta e um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta d = (1, -1, 1) . A equação pode ser parametrizada assim: , e , onde é um parâmetro. Isso significa que o vetor diretor da reta é:
O vetor diretor indica a direção em que a reta está apontando no espaço.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor normal do plano n = (2, -1, -1) . A equação do plano é . Os coeficientes de , e nessa equação nos dão o vetor normal :
O vetor normal é perpendicular ao plano e é essencial para calcular o ângulo com a reta.

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre a reta e o plano, usamos a relação entre o vetor diretor da reta sin theta = |d cdot n||d| cdot |n| e o vetor normal do plano . A fórmula para o seno do ângulo entre a reta e o plano é:
Aqui, é o produto escalar dos vetores, e e são os módulos (comprimentos) dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar d cdot n = (1)(2) + (-1)(-1) + (1)(-1) = 2 + 1 - 1 = 2 :

Passo 6

Agora, calculamos os módulos dos vetores |d| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 e |n| = raiz2^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6 :

Passo 7

Substituímos os valores na fórmula do seno:
sin theta = 2raiz3 cdot raiz6 = 2raiz18 = 23raiz2 = 2raiz26 = raiz23
Para encontrar o ângulo theta = arcsin(raiz23) approx 28,07^circ , calculamos o arco seno:

Resposta

O ângulo que a reta forma com o plano é aproximadamente .

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