Determine o ângulo que a reta
forma com o plano
nos itens a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o ângulo que uma reta
forma com um plano
. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente vetores diretores de retas e vetores normais de planos, além da fórmula para calcular o ângulo entre uma reta e um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta
. A equação
pode ser parametrizada assim:
,
e
, onde
é um parâmetro. Isso significa que o vetor diretor
da reta é:
O vetor diretor indica a direção em que a reta está apontando no espaço.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor normal do plano
. A equação do plano é
. Os coeficientes de
,
e
nessa equação nos dão o vetor normal
:
O vetor normal é perpendicular ao plano e é essencial para calcular o ângulo com a reta.
Passo 4
Para encontrar o ângulo entre a reta e o plano, usamos a relação entre o vetor diretor da reta
e o vetor normal do plano
. A fórmula para o seno do ângulo
entre a reta e o plano é:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores, e
e
são os módulos (comprimentos) dos vetores.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, calculamos os módulos dos vetores
e
:
Passo 7
Substituímos os valores na fórmula do seno:
Para encontrar o ângulo
, calculamos o arco seno:
Resposta
O ângulo que a reta
forma com o plano
é aproximadamente
.