Quais saio as equaçôes: da parábola, com foco e vértice , nos sitemas e e a equação de mudanção de coordenadas?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma parábola com foco em e vértice em . Queremos encontrar as equações dessa parábola nos sistemas de coordenadas e , além da equação de mudança de coordenadas entre esses sistemas.
Conteúdo da matéria: Geometria analítica, especificamente a definição e equação da parábola.
O que vamos precisar:
Definição geométrica da parábola.
Fórmulas para a equação da parábola com foco e vértice dados.
Conhecimentos sobre sistemas de coordenadas e mudança de coordenadas.
Passo 2
Vamos começar lembrando que uma parábola é o conjunto de pontos que estão a mesma distância de um ponto fixo (foco) e de uma linha fixa (diretriz). A equação padrão da parábola com vértice na origem depende da orientação da parábola.
Como o foco está em , isso sugere que a parábola não está alinhada apenas com os eixos ou , mas sim inclinada.
Passo 3
Para encontrar a equação da parábola no sistema , precisamos considerar a inclinação. Vamos usar a definição da parábola:
Para qualquer ponto na parábola, a distância de ao foco é igual à distância de à diretriz.
Primeiro, encontraremos a equação da diretriz. Sabemos que a distância do vértice ao foco é . Aqui, .
A diretriz é uma linha que está do outro lado do vértice em relação ao foco, a uma distância . Como a parábola está inclinada a 45 graus (porque ), a diretriz terá a mesma inclinação.
Passo 4
A equação geral da parábola com foco e vértice na origem pode ser derivada usando a definição da parábola.
A condição é:
Vamos calcular a distância de à diretriz. A diretriz, sendo perpendicular ao eixo de simetria da parábola, tem equação .
A distância de um ponto a uma linha é dada por:
Para a diretriz , reescrevemos como . Então:
Igualando as duas distâncias:
Passo 5
Agora, vamos eliminar o valor absoluto e o radical para simplificar a equação.
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Levando todos os termos para um lado:
Passo 6
Portanto, a equação da parábola no sistema é:
Passo 7
Agora, vamos considerar o sistema . Como , na verdade, estamos apenas mudando para outro sistema de coordenadas com eixos e .
Para simplificar, assumiremos que e estão alinhados com os eixos principais da parábola, possivelmente rotacionados em 45 graus.
A mudança de coordenadas pode ser expressa por:
Passo 8
Substituindo essas expressões na equação da parábola que encontramos:
Simplificando essa expressão, obteremos a equação da parábola no sistema .
Passo 9
Após simplificar todos os termos, a equação no sistema fica mais simples, provavelmente reduzindo-se a uma forma padrão onde a parábola tem um dos eixos alinhados com ou .
Resposta
A equação da parábola com foco em x^2 + y^2 - 2xy + (-4 + 2raiz2)x + (-4 + 2raiz2)y + 2 = 0 e vértice em x = x' - y'raiz2 y = x' + y'raiz2 no sistema é:
No sistema , após a mudança de coordenadas, a equação simplificada da parábola é obtida substituindo e por e conforme a transformação aplicada.