Encontre a distância entre as retas e em cada item a seguir. e s:ly=3 x+1 z=-4 x
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar a distância entre duas retas no espaço. As retas são dadas pelas seguintes equações:
Retta x = 1 + h y = 2 + h z = -2 - 2h h in R :
y = 3x + 1 z = -4x
Retta :
Para resolver esse problema, vamos precisar usar conceitos de vetores e a fórmula para calcular a distância entre duas retas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações das retas na forma paramétrica usando um parâmetro para cada reta. Já a reta x = t y = 3t + 1 z = -4t t in R está na forma paramétrica com o parâmetro . Para a reta , vamos escolher como parâmetro, digamos .
Então, a reta fica:
Passo 3
Agora, identificamos um ponto e um vetor diretor para cada reta.
Para a reta :
Ponto (quando )
Vetor diretor (coeficientes de )
Para a reta :
Ponto (quando )
Vetor diretor (coeficientes de )
Passo 4
Para encontrar a distância entre as duas retas, usamos a fórmula da distância entre retas paralelas ou não. Primeiro, vamos verificar se as retas são paralelas ou não calculando o produto vetorial dos vetores diretores.
Como o produto vetorial não é zero, as retas não são paralelas.
Passo 5
Como as retas não são paralelas, elas são chamadas de retas inclinadas ou irregulares. A fórmula para a distância d = |PQ cdot (vr times vs)||vr times vs| entre duas retas no espaço é:
Onde:
é o vetor que vai de um ponto na reta para um ponto na reta