Encontre a distância entre as retas r e s em cada item a seguir.
r:lx=1+h y=2+h ; z=-2-2 h h in R e s:ly=3 x+1 z=-4 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar a distância entre duas retas no espaço. As retas são dadas pelas seguintes equações:
Retta x = 1 + h y = 2 + h z = -2 - 2h h in R :
y = 3x + 1 z = -4x
Retta :
Para resolver esse problema, vamos precisar usar conceitos de vetores e a fórmula para calcular a distância entre duas retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das retas na forma paramétrica usando um parâmetro para cada reta. Já a reta x = t y = 3t + 1 z = -4t t in R está na forma paramétrica com o parâmetro . Para a reta , vamos escolher como parâmetro, digamos .
Então, a reta fica:

Passo 3

Agora, identificamos um ponto e um vetor diretor para cada reta.
Para a reta :
  • Ponto (quando )
  • Vetor diretor (coeficientes de )
Para a reta :
  • Ponto (quando )
  • Vetor diretor (coeficientes de )

Passo 4

Para encontrar a distância entre as duas retas, usamos a fórmula da distância entre retas paralelas ou não. Primeiro, vamos verificar se as retas são paralelas ou não calculando o produto vetorial dos vetores diretores.
Calculamos vr times vs = i & j & k 1 & 1 & -2 1 & 3 & -4 = i(1 cdot (-4) - (-2) cdot 3) - j(1 cdot (-4) - (-2) cdot 1) + k(1 cdot 3 - 1 cdot 1) :
= i(-4 + 6) - j(-4 + 2) + k(3 - 1) = i(2) - j(-2) + k(2)
= (2, 2, 2)
Como o produto vetorial não é zero, as retas não são paralelas.

Passo 5

Como as retas não são paralelas, elas são chamadas de retas inclinadas ou irregulares. A fórmula para a distância d = |PQ cdot (vr times vs)||vr times vs| entre duas retas no espaço é:
Onde:
  • é o vetor que vai de um ponto na reta para um ponto na reta
  • e são os vetores diretores das retas e
  • representa o produto vetorial
  • representa o produto escalar

Passo 6

Vamos calcular PQ = Ps - Pr = (0 - 1, 1 - 2, 0 - (-2)) = (-1, -1, 2) . Escolhemos e .

Passo 7

Já calculamos |vr times vs| = raiz2^2 + 2^2 + 2^2 = raiz4 + 4 + 4 = raiz12 = 2raiz3 . Agora, calculamos o módulo desse vetor:

Passo 8

Agora, calculamos o produto escalar PQ cdot (vr times vs) = (-1)(2) + (-1)(2) + (2)(2) = -2 -2 +4 = 0 :

Passo 9

Substituímos os valores na fórmula da distância:
d = |0|2raiz3 = 02raiz3 = 0

Resposta

A distância entre as retas e é igual a , ou seja, as retas se interceptam.

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