Seja . Calcule sen nos casos (a) e (b) e casos © e (d):
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer calcular o seno do ângulo entre duas retas no espaço, chamadas de e . Para isso, vamos precisar identificar as direções dessas retas e usar a fórmula que relaciona o seno do ângulo entre elas com os vetores de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores de direção das retas e .
  • Para a reta , o vetor de direção é .
  • Para a reta , precisamos reescrever essa equação parametricamente. Observando, podemos deduzir que:
    Podemos parametrizar como , então:
    Assim, o vetor de direção para é .

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do seno do ângulo entre dois vetores. A fórmula é:
Onde:
  • é o produto vetorial entre e .
  • e são as magnitudes (ou módulos) dos vetores e .

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial .
Dados:
O produto vetorial é:
Simplificando:

Passo 5

Vamos encontrar as magnitudes dos vetores e do produto vetorial.
Calculando :
Calculando :
Calculando :

Passo 6

Agora, aplicando na fórmula do seno:

Resposta

O seno do ângulo entre as retas e é .

Exercícios relacionados

Encontre um conjunto fundamental de soluções reais para os seguintes sistema abaixo:
Sejam os pontos e , e o plano que passa pelos pontos A, B e C. Encontre as equações paramétricas de . Verifique se os pontos e pertencem a e se o vetor é paralelo a .
Obtenha o ângulo em radianos entre a reta e o plano .
(b)
Determine o ângulo das retas : .