Seja alpha=ang(r, s). Calcule sen alpha nos casos (a) e (b) e cos alpha nos casos © e (d):
(b) r: X=(1,1,0)+lambda(0,-1,1), s: x-y+3=z=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer calcular o seno do ângulo alpha entre duas retas no espaço, chamadas de r e s. Para isso, vamos precisar identificar as direções dessas retas e usar a fórmula que relaciona o seno do ângulo entre elas com os vetores de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores de direção das retas r e s.
  • Para a reta r: X = (1,1,0) + lambda(0,-1,1), o vetor de direção é u = (0, -1, 1).
  • Para a reta s: x - y + 3 = z = 4, precisamos reescrever essa equação parametricamente. Observando, podemos deduzir que:
    • z = 4
    • x - y + 3 = 4 Rightarrow x - y = 1 Rightarrow y = x - 1
    Podemos parametrizar x como mu, então:
    • x = mu
    • y = mu - 1
    • z = 4
    Assim, o vetor de direção para s é v = (1, 1, 0).

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do seno do ângulo entre dois vetores. A fórmula é:
sin alpha = |u times v||u| cdot |v|
Onde:
  • u times v é o produto vetorial entre u e v.
  • |u| e |v| são as magnitudes (ou módulos) dos vetores u e v.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial u times v.
Dados:
  • u = (0, -1, 1)
  • v = (1, 1, 0)
O produto vetorial é:
u times v = i & j & k 0 & -1 & 1 1 & 1 & 0 = i((-1)(0) - (1)(1)) - j((0)(0) - (1)(1)) + k((0)(1) - (-1)(1))
Simplificando:
u times v = i(-1) - j(-1) + k(1) = (-1, 1, 1)

Passo 5

Vamos encontrar as magnitudes dos vetores e do produto vetorial.
Calculando |u|:
|u| = raiz0^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2
Calculando |v|:
|v| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2
Calculando |u times v|:
|u times v| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3

Passo 6

Agora, aplicando na fórmula do seno:
sin alpha = |u times v||u| cdot |v| = raiz3raiz2 cdot raiz2 = raiz32

Resposta

O seno do ângulo alpha entre as retas r e s é sin alpha = dfracraiz32.

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