Sendo A(-2,3) e B(6,-3) extremidades de um segmento, determinar:
a) os pontos C, D e E que dividem o segmento A B em quatro partes de mesmo comprimento;
b) os pontos F e G que dividem o segmento de A B em três partes de mesmo comprimento.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois pontos, e , que são as extremidades de um segmento de reta. A pergunta quer que a gente encontre pontos que dividem esse segmento em partes iguais.
  • Conteúdo da matéria: Geometria analítica, especificamente divisão de segmentos de reta em partes iguais.
  • O que vamos precisar: Fórmula para dividir um segmento de reta em partes iguais (fórmula da seção interna).

Passo 2

Para dividir o segmento em quatro partes iguais, queremos encontrar três pontos , e que separam em quatro segmentos de comprimento igual. Isso significa que cada pequeno segmento será do comprimento total de .
Usaremos a fórmula da seção interna, que nos ajuda a encontrar as coordenadas de um ponto que divide um segmento em uma certa razão.

Passo 3

A fórmula da seção interna é:
(x, y) = ( m x2 + n x1m + n, m y2 + n y1m + n )
Onde:
  • e são as coordenadas dos pontos e .
  • é a razão em que o ponto divide o segmento.

Passo 4

Parte a) Vamos dividir C = ( 1 cdot 6 + 3 cdot (-2)1 + 3, 1 cdot (-3) + 3 cdot 31 + 3 ) = ( 6 - 64, -3 + 94 ) = ( 0, 64 ) = (0, 1.5) em quatro partes iguais, então precisamos de três pontos ( D = ( 1 cdot 6 + 1 cdot (-2)1 + 1, 1 cdot (-3) + 1 cdot 31 + 1 ) = ( 6 - 22, -3 + 32 ) = ( 2, 0 ) , E = ( 3 cdot 6 + 1 cdot (-2)3 + 1, 3 cdot (-3) + 1 cdot 33 + 1 ) = ( 18 - 24, -9 + 34 ) = ( 4, -64 ) = (4, -1.5) , ) que separam em quatro segmentos de razão , e .
  1. Ponto C ( do caminho de A para B):
    • Razão
    • Aplicando a fórmula:
  1. Ponto D ( do caminho de A para B):
    • Razão
    • Aplicando a fórmula:
  1. Ponto E ( do caminho de A para B):
    • Razão
    • Aplicando a fórmula:

Passo 5

Parte b) Agora, vamos dividir F = ( 1 cdot 6 + 2 cdot (-2)1 + 2, 1 cdot (-3) + 2 cdot 31 + 2 ) = ( 6 - 43, -3 + 63 ) = ( 23, 1 ) em três partes iguais, precisando de dois pontos ( G = ( 2 cdot 6 + 1 cdot (-2)2 + 1, 2 cdot (-3) + 1 cdot 32 + 1 ) = ( 12 - 23, -6 + 33 ) = ( 103, -1 ) approx (3.33, -1) e ) que separam em três segmentos de razão e .
  1. Ponto F ( do caminho de A para B):
    • Razão
    • Aplicando a fórmula:
  1. Ponto G ( do caminho de A para B):
    • Razão
    • Aplicando a fórmula:

Resposta

a) Os pontos que dividem em quatro partes iguais são:
b) Os pontos que dividem em três partes iguais são:

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