O ponto A é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adjacentes são B, C e D. Sendo A A^prime uma diagonal do paralelepípedo, determinar o ponto A^prime nos seguintes casos:
a) A(3,5,0), B(l, 5,0), C(3,5,4) e D(3,2,0);
b) A(-1,2,1), B(3,-1,2), C(4,1,-3) e D(0,-3,-1);
c) A(-1,2,3), B(2,-1, O), C(3,1,4) e D(-2, O, 5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá as coordenadas de um vértice de um paralelepípedo e seus três vértices adjacentes , e . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do ponto , que é o vértice oposto a através da diagonal do paralelepípedo. Para isso, vamos precisar entender um pouco de geometria analítica, especialmente como trabalhar com coordenadas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um paralelepípedo. É uma figura tridimensional onde todas as faces são paralelogramos. Se você tem um vértice A' = B + C + D - 2A e os três vértices adjacentes , e , o vértice oposto pode ser encontrado usando as coordenadas desses pontos. A fórmula para encontrar é:
Isso significa que a coordenada de é a soma das coordenadas de , e , menos duas vezes as coordenadas de .

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula com os valores do item a):
A(3,5,0), B(1,5,0), C(3,5,4), D(3,2,0)
Primeiro, somamos as coordenadas de B + C + D = (1 + 3 + 3, 5 + 5 + 2, 0 + 4 + 0) = (7, 12, 4) , e :

Passo 4

Agora, multiplicamos as coordenadas de 2A = 2 times (3,5,0) = (6,10,0) por 2:

Passo 5

Subtraímos A' = (7,12,4) - (6,10,0) = (1,2,4) da soma de :

Resposta

O ponto tem coordenadas .

Exercícios relacionados