Determine o volume do tetraedro a seguir dados A(0,2,2), B(-3,-2,2), C(3,-2,2) e D(2,3,8).

Passo 1

Então, a gente precisa descobrir o volume de um tetraedro cujos vértices estão nos pontos , , e . Vamos usar geometria analítica, especificamente o produto misto de vetores, para resolver isso. Para isso, vamos precisar calcular vetores a partir desses pontos e usar operações de produto vetorial e escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos construir os vetores que partem do ponto AB = B - A = (-3 - 0, -2 - 2, 2 - 2) = (-3, -4, 0) para os outros três pontos. Isso significa:
AC = C - A = (3 - 0, -2 - 2, 2 - 2) = (3, -4, 0)
AD = D - A = (2 - 0, 3 - 2, 8 - 2) = (2, 1, 6)

Passo 3

Agora, vamos encontrar o produto vetorial entre u times v = (uy vz - uz vy, uz vx - ux vz, ux vy - uy vx) e AC times AD = i & j & k 3 & -4 & 0 2 & 1 & 6 . O produto vetorial de dois vetores = i((-4)(6) - (0)(1)) - j((3)(6) - (0)(2)) + k((3)(1) - (-4)(2)) e = i(-24) - j(18) + k(11) é dado por:
= (-24, -18, 11)
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar entre u cdot v = ux vx + uy vy + uz vz e o resultado do produto vetorial AB cdot (AC times AD) = (-3)(-24) + (-4)(-18) + (0)(11) . O produto escalar de dois vetores = 72 + 72 + 0 e = 144 é:
Aplicando isso:

Passo 5

Para encontrar o volume do tetraedro, usamos a fórmula do produto misto:
V = |AB cdot (AC times AD)|6
Substituindo o valor que encontramos:
V = |144|6 = 1446 = 24

Resposta

O volume do tetraedro é unidades cúbicas.

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