Determine o ângulo entre os vetores abaixo. k=w times v e p=u times v, onde u=(1,1,-3), v=(0,1,-5), e w=(4,2,-5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo entre dois vetores, k e p. Esses vetores são produtos vetoriais de outros vetores que a gente já tem: u, v e w. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o produto vetorial e depois como achar o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o vetor k, que é o produto vetorial entre w e v. A fórmula do produto vetorial entre dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é:
a times b = (a2 b3 - a3 b2, a3 b1 - a1 b3, a1 b2 - a2 b1)
Vamos aplicar isso com w = (4, 2, -5) e v = (0, 1, -5):
k = w times v = (2 cdot (-5) - (-5) cdot 1, (-5) cdot 0 - 4 cdot (-5), 4 cdot 1 - 2 cdot 0)
k = (-10 + 5, 0 + 20, 4 - 0) = (-5, 20, 4)

Passo 3

Agora, vamos calcular o vetor p, que é o produto vetorial entre u e v. Usando a mesma fórmula:
p = u times v = (1 cdot (-5) - (-3) cdot 1, (-3) cdot 0 - 1 cdot (-5), 1 cdot 1 - 1 cdot 0)
p = (-5 + 3, 0 + 5, 1 - 0) = (-2, 5, 1)

Passo 4

Agora que temos os vetores k = (-5, 20, 4) e p = (-2, 5, 1), vamos encontrar o ângulo entre eles. Para isso, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos theta = k cdot p|k| cdot |p|
Primeiro, vamos calcular o produto escalar k cdot p:
k cdot p = (-5) cdot (-2) + 20 cdot 5 + 4 cdot 1 = 10 + 100 + 4 = 114

Passo 5

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores k e p:
|k| = raiz(-5)^2 + 20^2 + 4^2 = raiz25 + 400 + 16 = raiz441 = 21
|p| = raiz(-2)^2 + 5^2 + 1^2 = raiz4 + 25 + 1 = raiz30 approx 5,477

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno:
cos theta = 11421 cdot 5,477 approx 114114,977 approx 0,990
Para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno de 0,990:
theta = arccos(0,990) approx 8,1^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores k e p é aproximadamente 8,1 graus.

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