Obtenha os resultados das seguintes operações: u times w+v times w-w times u, onde u=(2,0,1), v=(1,3,1), e w=(-1,2,10).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a expressão u times w + v times w - w times u. Aqui, u = (2, 0, 1), v = (1, 3, 1) e w = (-1, 2, 10). Vamos usar o conceito de produto vetorial, que é uma operação entre dois vetores no espaço tridimensional que resulta em outro vetor perpendicular aos dois originais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular u times w. O produto vetorial de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a times b = ( a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1 )
Aplicando isso para u times w:
u times w = (0 cdot 10 - 1 cdot 2, 1 cdot (-1) - 2 cdot 10, 2 cdot 2 - 0 cdot (-1)) = (-2, -21, 4)

Passo 3

Agora, vamos calcular v times w usando a mesma fórmula:
v times w = (3 cdot 10 - 1 cdot 2, 1 cdot (-1) - 1 cdot 10, 1 cdot 2 - 3 cdot (-1)) = (28, -11, 5)

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular w times u. Lembre-se que o produto vetorial não é comutativo, ou seja, w times u = - (u times w). Já calculamos u times w = (-2, -21, 4), então:
w times u = (2, 21, -4)

Passo 5

Agora, vamos somar e subtrair os vetores conforme a expressão inicial:
u times w + v times w - w times u = (-2, -21, 4) + (28, -11, 5) - (2, 21, -4)
Somando componente por componente:
  • Componente x: -2 + 28 - 2 = 24
  • Componente y: -21 - 11 - 21 = -53
  • Componente z: 4 + 5 - (-4) = 13

Resposta

O resultado da expressão é o vetor (24, -53, 13).

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