Determine o ângulo entre os vetores abaixo. u=(7,2,1) e v=(3,3,5).

Passo 1

O enunciado pede para determinar o ângulo entre os vetores u = (7, 2, 1) e v = (3, 3, 5). Vamos usar conceitos de produto escalar e normas dos vetores para resolver. Precisamos calcular o produto escalar dos vetores e as magnitudes de cada um deles.

Passo 2

Primeiro, calculamos o produto escalar dos vetores u e v. O produto escalar é dado por:
u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
Substituindo os valores:
u cdot v = 7 times 3 + 2 times 3 + 1 times 5 = 21 + 6 + 5 = 32

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma (ou magnitude) de cada vetor. A norma de um vetor u = (u1, u2, u3) é calculada por:
|u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2
Para u:
|u| = raiz7^2 + 2^2 + 1^2 = raiz49 + 4 + 1 = raiz54 = 3raiz6
Para v:
|v| = raiz3^2 + 3^2 + 5^2 = raiz9 + 9 + 25 = raiz43

Passo 4

Com o produto escalar e as normas dos vetores, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos theta = u cdot v|u| |v|
Substituindo os valores calculados:
cos theta = 323raiz6 times raiz43 = 323 raiz258 = 323 times 16.0624 approx 3248.187 approx 0.664

Passo 5

Agora, para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno do resultado:
theta = arccos(0.664) approx 48.1^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é aproximadamente 48.1^circ.

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