Determine o ângulo entre os vetores abaixo. u=(1,3,7) e v=(5,9,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo entre dois vetores: u=(1,3,7) e v=(5,9,0). A matéria que vamos usar aqui é a de Produto Escalar e Cálculo de Ângulo entre Vetores. Precisamos saber como calcular o produto escalar e as magnitudes dos vetores para achar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do produto escalar entre dois vetores u e v:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Isso significa que multiplicamos as componentes correspondentes dos vetores e somamos os resultados.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar de u e v:
u cdot v = (1)(5) + (3)(9) + (7)(0) = 5 + 27 + 0 = 32

Passo 4

Agora, precisamos calcular a magnitude (ou comprimento) de cada vetor. A fórmula para a magnitude de um vetor u=(u1, u2, u3) é:
|u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2

Passo 5

Calculando a magnitude de u:
|u| = raiz1^2 + 3^2 + 7^2 = raiz1 + 9 + 49 = raiz59 approx 7,681

Passo 6

Calculando a magnitude de v:
|v| = raiz5^2 + 9^2 + 0^2 = raiz25 + 81 + 0 = raiz106 approx 10,296

Passo 7

Agora, usamos a fórmula para encontrar o ângulo theta entre os vetores:
costheta = u cdot v|u| |v|
Substituindo os valores que encontramos:
costheta = 327,681 times 10,296 approx 3278,897 approx 0,406

Passo 8

Para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno:
theta = arccos(0,406) approx 66,3^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é aproximadamente 66,3^circ.

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