Determine o ângulo entre os vetores. (Encontre inicialmente uma expressão exata e depois aproxime o valor até a precisão de um grau.)
a=lang<= 4,0,2rang<=, b =lang<= 2,-1,0rang<=

Passo 1

Beleza! A gente precisa descobrir o ângulo entre dois vetores, que está relacionado à matéria de Álgebra Vetorial. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do produto escalar, que nos ajuda a encontrar o ângulo entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o produto escalar entre dois vetores a e b. A fórmula é:
a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos(theta)
Onde:
  • a cdot b é o produto escalar dos vetores.
  • |a| e |b| são os módulos (comprimentos) dos vetores.
  • theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar dos vetores a = lang<= 4, 0, 2 rang<= e b = lang<= 2, -1, 0 rang<=. O produto escalar é calculado multiplicando as componentes correspondentes e somando:
a cdot b = (4)(2) + (0)(-1) + (2)(0) = 8 + 0 + 0 = 8

Passo 4

Agora, vamos calcular os módulos dos vetores. A fórmula para o módulo de um vetor v = lang<= v1, v2, v3 rang<= é:
|v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2
Para a:
|a| = raiz4^2 + 0^2 + 2^2 = raiz16 + 0 + 4 = raiz20 = 2raiz5
Para b:
|b| = raiz2^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz4 + 1 + 0 = raiz5

Passo 5

Agora que temos o produto escalar e os módulos dos vetores, vamos substituir na fórmula do ângulo:
8 = (2raiz5) cdot (raiz5) cdot cos(theta)
Simplificando:
8 = 2 cdot 5 cdot cos(theta) 8 = 10 cdot cos(theta)

Passo 6

Para encontrar cos(theta), vamos isolar na equação:
cos(theta) = 810 = 45

Passo 7

Agora, para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno:
theta = arccos(45)

Resposta

O ângulo entre os vetores a e b é exatamente arccos(45), que aproximadamente é 36^circ.

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