(a) Se
são L.I. então
são L.I.
(b) Se um conjunto
contém o vetor nulo, então
é L.D.
© Se uma parte de um conjunto
é L.D. então
é L.D.
(d) Se um conjunto
é L.I., qualquer subconjunto de
é L.I.
(b) Se um conjunto
© Se uma parte de um conjunto
(d) Se um conjunto
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos quatro afirmações sobre conjuntos de vetores e suas propriedades de independência linear (L.I.) e dependência linear (L.D.). A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente os conceitos de L.I. e L.D. Para resolver, vamos analisar cada item (a) a (d) separadamente, verificando se a afirmação é verdadeira ou falsa e explicando o porquê.
Passo 2
(a) Se
são L.I. então
são L.I.
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Vetores são L.I. se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.
Vamos verificar se
são L.I. assumindo que
são L.I.
Suponha que exista uma combinação linear:
Expandindo:
Agrupando os vetores:
Como
são L.I., os coeficientes devem ser zero:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda, então
.
Substituindo na terceira, , o que implica
, e consequentemente
.
Da primeira equação,
Substituindo na segunda,
Substituindo na terceira,
Como a única solução é
, os vetores
são L.I.
Passo 3
(b) Se um conjunto
contém o vetor nulo, então
é L.D.
Vamos lembrar que um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. O vetor nulo,
, sempre pode ser escrito como
, independentemente dos outros vetores.
Isso significa que, se o conjunto contém o vetor nulo, temos uma combinação linear não trivial (coeficientes não todos zero) que resulta no vetor nulo, o que caracteriza a dependência linear.
Portanto, se
contém o vetor nulo,
é L.D.
Passo 4
© Se uma parte de um conjunto
é L.D. então
é L.D.
Aqui, “uma parte” significa um subconjunto de
. Se existe um subconjunto de
que é linearmente dependente, isso implica que dentro de
há vetores que satisfazem uma combinação linear não trivial igual a zero.
Como a dependência linear em um subconjunto implica dependência no conjunto todo,
também será linearmente dependente.
Passo 5
(d) Se um conjunto
é L.I., qualquer subconjunto de
é L.I.
Vamos pensar nisso: se
é L.I., isso significa que nenhum vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Se pegarmos qualquer subconjunto de
, digamos
, queremos verificar se
também é L.I.
Como
é parte de
, e
não tem dependência linear, então
também não pode ter dependência linear. Não há vetores em
que possam ser escritos como combinações dos outros em
, já que isso violaria a independência de
.
Portanto, qualquer subconjunto de um conjunto L.I. também é L.I.
Resposta
Todas as afirmações (a), (b), © e (d) são verdadeiras.