Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos quatro afirmações sobre conjuntos de vetores e suas propriedades de independência linear (L.I.) e dependência linear (L.D.). A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente os conceitos de L.I. e L.D. Para resolver, vamos analisar cada item (a) a (d) separadamente, verificando se a afirmação é verdadeira ou falsa e explicando o porquê.
Passo 2
(a) Se são L.I. então são L.I.
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Vetores são L.I. se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.
Vamos verificar se são L.I. assumindo que são L.I.
Suponha que exista uma combinação linear:
Expandindo:
Agrupando os vetores:
Como são L.I., os coeficientes devem ser zero:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda, então .
Substituindo na terceira, , o que implica , e consequentemente .
Como a única solução é , os vetores são L.I.
Passo 3
(b) Se um conjunto contém o vetor nulo, então é L.D.
Vamos lembrar que um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. O vetor nulo, , sempre pode ser escrito como , independentemente dos outros vetores.
Isso significa que, se o conjunto contém o vetor nulo, temos uma combinação linear não trivial (coeficientes não todos zero) que resulta no vetor nulo, o que caracteriza a dependência linear.
Aqui, “uma parte” significa um subconjunto de . Se existe um subconjunto de que é linearmente dependente, isso implica que dentro de há vetores que satisfazem uma combinação linear não trivial igual a zero.
Como a dependência linear em um subconjunto implica dependência no conjunto todo, também será linearmente dependente.
Passo 5
(d) Se um conjunto é L.I., qualquer subconjunto de é L.I.
Vamos pensar nisso: se é L.I., isso significa que nenhum vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Se pegarmos qualquer subconjunto de , digamos , queremos verificar se também é L.I.
Como é parte de , e não tem dependência linear, então também não pode ter dependência linear. Não há vetores em que possam ser escritos como combinações dos outros em , já que isso violaria a independência de .
Portanto, qualquer subconjunto de um conjunto L.I. também é L.I.