Determine:

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para determinar o produto escalar entre o vetor C e o produto vetorial entre os vetores A e B, ou seja, calcular . Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais da matéria de álgebra vetorial: o produto vetorial e o produto escalar. Também vamos usar o produto misto ou produto escalar triplo para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores, digamos e , resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial é:
Onde , e são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos lembrar do produto escalar. O produto escalar entre dois vetores, digamos e , resulta em um número (escalar) e é calculado da seguinte forma:
Esse cálculo nos dá uma medida de quão “alinhados” os dois vetores estão.

Passo 4

O que a questão está nos pedindo é calcular o produto escalar triplo, que é o produto escalar de um vetor com o produto vetorial de outros dois. Ou seja:
Esse produto escalar triplo também pode ser interpretado como o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores A, B e C.

Passo 5

Para calcular , podemos usar a regra do determinante. Montamos uma matriz onde as linhas são os componentes dos vetores A, B e C:
Calculando esse determinante, obtemos o valor do produto escalar triplo.

Resposta

Portanto, é igual ao determinante da matriz formada pelos componentes dos vetores A, B e C:

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Sendo
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b