Então, vamos lá! A questão pede para determinar o produto escalar entre o vetor C e o produto vetorial entre os vetores A e B, ou seja, calcular . Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais da matéria de álgebra vetorial: o produto vetorial e o produto escalar. Também vamos usar o produto misto ou produto escalar triplo para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores, digamos e , resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial é:
Onde i, j e k são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do produto escalar. O produto escalar entre dois vetores, digamos C e D, resulta em um número (escalar) e é calculado da seguinte forma:
C cdot D = Cx Dx + Cy Dy + Cz Dz
Esse cálculo nos dá uma medida de quão “alinhados” os dois vetores estão.
Passo 4
O que a questão está nos pedindo é calcular o produto escalar triplo, que é o produto escalar de um vetor com o produto vetorial de outros dois. Ou seja:
C cdot (A times B)
Esse produto escalar triplo também pode ser interpretado como o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores A, B e C.
Passo 5
Para calcular C cdot (A times B), podemos usar a regra do determinante. Montamos uma matriz onde as linhas são os componentes dos vetores A, B e C:
C cdot (A times B) = Ax & Ay & Az Bx & By & Bz Cx & Cy & Cz
Calculando esse determinante, obtemos o valor do produto escalar triplo.
Resposta
Portanto, C cdot (A times B) é igual ao determinante da matriz formada pelos componentes dos vetores A, B e C:
C cdot (A times B) = Ax & Ay & Az Bx & By & Bz Cx & Cy & Cz