Sendo
l x=1+h-2 t y=1-t z=4+2 h-2 t
equações paramétricas de um plano pi, obter uma equação geral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um conjunto de equações paramétricas que descrevem um plano . Nosso objetivo é transformar essas equações paramétricas em uma equação geral do plano. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como eliminação de parâmetros e manipulação de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações paramétricas que recebemos:
l x = 1 + h - 2t y = 1 - t z = 4 + 2h - 2t
Aqui, e são os parâmetros que variam, e , , são as coordenadas dos pontos no plano .

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar os parâmetros y = 1 - t implies t = 1 - y e para obter uma relação direta entre , e . Vamos começar resolvendo a segunda equação para :
Agora que temos em função de , vamos substituir esse valor nas outras equações.

Passo 4

Substituindo x = 1 + h - 2(1 - y) x = 1 + h - 2 + 2y x = h - 1 + 2y implies h = x + 1 - 2y na primeira equação:
z = 4 + 2h - 2t z = 4 + 2(x + 1 - 2y) - 2(1 - y) z = 4 + 2x + 2 - 4y - 2 + 2y z = 2x - 2y + 4
Agora, substituímos e na terceira equação:

Passo 5

Agora temos uma relação direta entre z = 2x - 2y + 4 , 2x - 2y - z + 4 = 0 e 2x - 2y - z = -4 :
Para deixar em forma geral, podemos reorganizar os termos:
Ou, simplificando os coeficientes:

Resposta

A equação geral do plano 2x - 2y - z = -4 é:

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