Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais de M3 times 3 ? W=(ccca & b & c 0 & 0 & 0 0 & d & 0) ; d=a+b+c ; (b) W=(ccca & b & c 0 & 0 & 0 0 & d & 0) ; d.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear que pede para verificar se certos conjuntos de matrizes são subespaços vetoriais de . Isso envolve entender o que é um subespaço vetorial e quais propriedades precisamos checar para saber se esses conjuntos realmente são subespaços. Para resolver, vamos precisar lembrar das três condições principais para um conjunto ser um subespaço: conter a matriz zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o item (a):
W = a & b & c 0 & 0 & 0 0 & d & 0 ; d = a + b + c
Para verificar se A = a1 & b1 & c1 0 & 0 & 0 0 & d1 & 0 com d1 = a1 + b1 + c1 é um subespaço vetorial, precisamos checar três coisas:
  1. Contém a matriz zero: Substituindo B = a2 & b2 & c2 0 & 0 & 0 0 & d2 & 0 com d2 = a2 + b2 + c2 , A + B = a1 + a2 & b1 + b2 & c1 + c2 0 & 0 & 0 0 & d1 + d2 & 0 , e kA = ka & kb & kc 0 & 0 & 0 0 & kd & 0 , temos . Então, a matriz zero está em .
  2. Fechado sob adição: Se tivermos duas matrizes em , digamos:
A soma será:
E , ou seja, a condição ainda se mantém. Então, é fechado sob adição.
  1. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz por um escalar , teremos:
E , então a condição também se mantém para . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 3

Agora, vamos para o item (b):
W = a & b & c 0 & 0 & 0 0 & d & 0 ; d < a + b + c
Vamos verificar as mesmas três condições:
  1. Contém a matriz zero: Substituindo , , e , temos . A matriz zero tem , que não satisfaz . Portanto, a matriz zero não está em .
Como a primeira condição já falhou, não precisamos verificar as outras. não é um subespaço vetorial.

Resposta

Somente o conjunto do item (a) é um subespaço vetorial de . O conjunto do item (b) não é um subespaço vetorial.

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