Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais de ? .
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear que pede para verificar se certos conjuntos de matrizes são subespaços vetoriais de . Isso envolve entender o que é um subespaço vetorial e quais propriedades precisamos checar para saber se esses conjuntos realmente são subespaços. Para resolver, vamos precisar lembrar das três condições principais para um conjunto ser um subespaço: conter a matriz zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o item (a):
Para verificar se é um subespaço vetorial, precisamos checar três coisas:
Contém a matriz zero: Substituindo , , e , temos . Então, a matriz zero está em .
Fechado sob adição: Se tivermos duas matrizes em , digamos:
A soma será:
E , ou seja, a condição ainda se mantém. Então, é fechado sob adição.
Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz por um escalar , teremos:
E , então a condição também se mantém para . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 3
Agora, vamos para o item (b):
Vamos verificar as mesmas três condições:
Contém a matriz zero: Substituindo , , e , temos . A matriz zero tem , que não satisfaz . Portanto, a matriz zero não está em .
Como a primeira condição já falhou, não precisamos verificar as outras. não é um subespaço vetorial.
Resposta
Somente o conjunto do item (a) é um subespaço vetorial de . O conjunto do item (b) não é um subespaço vetorial.