Determine o ângulo entre os vetores i+j+k e i+j-k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o ângulo entre dois vetores: e . Pra isso, vamos usar um conceito de Matemática chamado produto escalar, que ajuda a calcular o ângulo entre dois vetores no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como identificar os componentes dos vetores. O primeiro vetor tem componentes (1, 1, 1), e o segundo vetor tem componentes (1, 1, -1).

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar dos dois vetores. A fórmula do produto escalar é:
A cdot B = Ax times Bx + Ay times By + Az times Bz
Substituindo os valores:
A cdot B = (1)(1) + (1)(1) + (1)(-1) = 1 + 1 - 1 = 1

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar o módulo (ou comprimento) de cada vetor. A fórmula para o módulo de um vetor |V| = raizx^2 + y^2 + z^2 é:
|A| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Calculando para |B| = raiz1^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 :
E para :

Passo 5

Agora, usamos a fórmula do ângulo entre dois vetores:
cos(theta) = A cdot B|A| times |B|
Substituindo os valores que encontramos:
cos(theta) = 1raiz3 times raiz3 = 13

Passo 6

Para achar o ângulo theta = cos^-1(13) , a gente precisa tirar o arco cosseno de theta approx 70,53^circ :
Usando uma calculadora, obtemos:

Resposta

O ângulo entre os vetores é aproximadamente .

Exercícios relacionados